What is the name of this?

Raumsteuerung, dann schauen wir mal.

So sind die Fenster alle zu.

Schall ich sie zu?

Schauen wir mal, ob es jetzt besser wird.

Es ist ein bisschen düster jetzt.

Ja, also wie gesagt, Ableitung des Logarithms.

Das Minus gehört weg.

So, wir waren beim Differenzieren.

Es hat Schwierigkeiten gegeben bei der Kettenregel.

Ich habe Ihnen das an dem Beispiel dann auch einmal wirklich

sehr langsam aufgeschrieben. Also so wie man das rechnet, wie man

das einsetzt. Man hat eine ineinander geschachtelte Funktion.

Man schaut sich die innere Funktion, den Funktionsterm an,

bildet die Ableitung der inneren Funktion,

bildet die Ableitung hier der äußeren Funktion,

und verknüpft das so, wie es

in der Formel steht. Sollte jetzt eigentlich klar sein.

Gibt es, und mit Logarithmus genauso, auch jetzt korrigiert,

das Minuszeichen war hartnäckig. Gibt es jetzt noch Fragen dazu?

Weil das war letztes Mal relativ

intensiv. Ja, ist das jetzt soweit

klar, alles wieder in Erinnerung? Und wurscht, ob da jetzt X steht

oder T steht, oder was auch immer wir dann noch erleben werden.

Wir waren dann noch bei den unbestimmten

Integralen. Also das Integral ist das Integrieren,

ist die Umkehrung vom Differenzieren. Wenn das

Differenzieren von der Ursprungsfunktion

auf die abgeleitete Funktion

führt, dann führt das Integrieren wieder zurück auf die Stammfunktion.

Weil es kommt ja, es wurde die Idee dahinter, man hat einen Kopf,

das wurde ja schon einmal differenziert, und dann geht es wieder zurück.

Und das ist natürlich nicht eindeutig, wie man so schön sagt.

Also es ist nur bis auf eine Konstante bestimmt, daher kommt immer die Konstante

dazu.

Außer es handelt sich um ein bestimmtes Integral in Grenzen, das dann auch die

Fläche angibt. Sollte alles weit bekannt

sein und eine Erinnerung für Sie. Die Integrationsregeln

sind das Umgekehrte der

Differenziationsregeln. Das ein,

wir werden dann meistens ganze Zahlen stehen haben,

im Prinzip, wie Sie wahrscheinlich noch in Erinnerung haben, aus der Schule

kann da jede beliebige Zahl stehen.

Interessant natürlich auch negative Zahlen.

Das werden Sie auch irgendwo schon einmal gehört haben.

Das Interessante ist, diese Formel hat, wo gibt es

bei der Formel ein Problem?

Ja, genau.

Es darf nicht minus 1, und was

ist das, und was ist Integral von 1 durch x?

Sie haben gerade gesagt, die Formel geht nicht.

Also wenn die Formel nicht gilt, dann wird x hoch nicht gehen.

Wir haben es beim Differenzieren schon gehabt.

Jetzt gerade sogar auch. Es ist das Umgekehrte.

Bei welcher Funktion differenziert, kommt 1 durch x raus?

Bitte? Genau.

Genau, das ist die große Ausnahme.

Das heißt, das müsste man

so, und das 1 durch n hoch minus 1 gehört weg, das ist beim Kopieren stehen geblieben.

Ich weiß dann, es gibt ja noch eine dritte Version, da kommt das weg.

Ja, bitte?

Das bitte, das ist beim Copy und Paste

ist mir da stehen geblieben, das kommt in der Endversion, kommt das weg.

Sie können es sich gleich durchstreichen.

Da stimmt die, da habe ich sie richtig geschrieben.

Verzeihung, ich war schon beim Loggering. Nein, es passt alles.

Also das ist die Formel, die gilt.

So, und damit, wenn es keine Fragen mehr zum Integrieren gibt,

gibt es noch Fragen zum Integrieren? Momentan einmal.

Also wir werden es eh wieder erleben, aber

vielleicht dann immer zurückschauen. Ich meine, dieser Mathematikteil ist dazu da,

dass wenn dann später irgendwas auftaucht, irgendwelche Begriffe,

irgendwelche Formel, dass sie zurückschauen und sagen, was ist da gestanden?

Und wie ist das definiert und so weiter, weil man das in der Umgebung

dann oft besser versteht. So, Vektoren dürfte dann auch schon ein Begriff sein,

da viele physikalische Größen ja gerichtete Größen sind.

In der Physik geht es immer um Bewegung, die Bewegung geht immer in eine Richtung

und diese Richtung kann man mit vektorellen Größen beschreiben.

Und da gibt es dann, das ist halt jetzt

ein bisschen eine Vokabelsammlung, aber es wird dann tatsächlich oft benutzt,

damit heißen die normalen Größen,

sage ich jetzt einmal umgangssprachlich, die nur einen Wert haben,

normale Funktionen, Skalare.

Ein bisschen Wording hat halt jede Wissenschaft.

So, ein Vektor.

Ein Vektor wird bestimmt durch seinen Betrag,

das ist die Länge und seine Richtung.

Man kann sich das so überlegen, es ist keine

Überraschung, dass die Geschwindigkeit ein Vektor ist, haben wir gerade gesagt.

Und ich habe das jetzt da angezeichnet.

Also die Richtung des Vektors ist die Richtung der Bewegung

und der Betrag des Vektors ist das umgangssprachliche,

wie schnell ist es. Also wenn man jetzt eine sehr einfache

Antwort haben will, was zeigt das

Tachometer zum Beispiel. Das ist unabhängig davon,

wohin das Gefährt fährt. Das Tachometer hat eine Zahl,

das ist, wie schnell ist es, und das entspricht dem

Betrag des Geschwindigkeitsvektors.

So, jetzt ist die Frage, wie viele Richtungen

haben wir? In der Mathematik gibt es eindimensionale

Räume und so weiter, aber wir

sind hier in der physikalischen Realität und wir leben

in einer Welt mit drei Raumdimensionen und daher braucht es drei

Angaben, um eine Richtung festzulegen.

Eine Richtung kann man immer nur festlegen in Bezug

auf ein Koordinatensystem. Wenn Sie sich vorstellen, Sie wollen

hier in diesem Raum zum Beispiel eine Lampe aufhängen und Sie bitten

jemanden darum und er fragt Sie, wo soll die sein?

Dann müssen Sie angeben, zum Beispiel Sie wählen Ausgangspunkt,

diesen Eckpunkt, dann geben Sie an, wie viel in diese

Richtung, sagen wir, das ist die X-Richtung, wie viel in diese Richtung

und dann müssen Sie noch sagen, wie hoch soll die denn hängen, das ist

die Z-Richtung. Und damit habe ich Ihnen als Bezug

ein sogenanntes rechtwinkliges

geradliniges Koordinatensystem suggeriert.

Normalerweise verwendet man dann X-Y-Z-Achse,

geht natürlich auch negativ,

weil, wenn ich jetzt sage, da ist der Nullpunkt, da vorne,

dann haben Sie lauter positive Werte in diesem Raum, aber

Sie werden ja nicht immer irgendwo in einer abgestitterten Welt leben,

sondern man kann natürlich immer von einem Bezugspunkt,

meistens wählt man sich selber zum Beispiel auch als Ausgangspunkt,

also wenn ich mich als Ausgangspunkt wähle, dann ist da die X-Koordinate Null

und die Lampe hängt da, hat dann nur eine Y- und eine Z-Koordinate.

Die Komponenten des Vektors sind die

Abschnitte entlang der Achsen.

Das hört sich vielleicht, Sie sollten das irgendwie,

haben Sie das schon irgendwo, ich denke, Sie haben das in der Schule zumindest einmal kurz gehört,

es ist komplizierter zum Sprechen, komplizierter

zum Zeichnen, als es tatsächlich ist.

Es ist ja ganz klar, ich habe es Ihnen ja nicht suggeriert, wenn ich sage, die Achsen sind da,

zum Beispiel da die Mittelachse und da diese

Raumbegrenzung, dann ist klar, dass das

die X-, Y- und Z-Achse ist. Wenn ich sage,

der Vektor geht jetzt zum Beispiel von dem Punkt da her,

dann hat er auf der X-Achse den Abschnitt Null,

auf der Y-Achse den Abschnitt bis da her

und auf der Z-Achse die Höhe.

Das Praktische dabei ist, in der Praxis

werden wir das Koordinatensystem in seiner vollen Komplexheit

selten brauchen, weil wir uns immer so überlegen,

man legt sich das Koordinatensystem halbwegs geschickt,

weil wenn ich jetzt zum Beispiel sage, das ist die X-Achse

und das ist der Nullpunkt, dann brauche ich nur mehr zwei Angaben, wenn ich

eh weiß, es geht um diese Ebene. Also man legt sich das Koordinatensystem

so, dass man möglichst wenig Arbeit hat. Trotzdem ist es einmal vernünftig,

das einmal hinzuschreiben, weil sonst muss man immer deuten, so viel von da

und so viel von dort und damit hat es einen Sinn zu sagen, nein, wir

verwenden jetzt das Koordinatensystem mit dem Nullpunkt und so schaut das prinzipiell aus.

So, jetzt haben wir schon gesagt, der Betrag

des Vektors, der errechnet sich

nach dem guten alten Pythagoras. Also das ist die

Diagonal, es wäre also, wenn Sie da diese

Konstruktion sehen, dann wäre das

ein Quader und es wäre die Diagonal in diesem Quader und die

berechnet sich nach dieser Formel.

Jetzt ist es so, wenn wir von der Geschwindigkeit

reden, dann geht es nur darum, wie schnell ist jetzt etwas und in welche Richtung

geht es. Ich habe Ihnen aber bei dieser Lampe etwas anderes suggeriert,

nämlich es geht auch darum zu wissen, wo

im Raum ist etwas und da muss

man einmal jeden Punkt beschreiben in diesem Koordinatensystem,

was ich Ihnen jetzt gerade gezeigt habe und dann manchmal

ist es auch sinnvoll, einen Vektor vom Ursprung

des Koordinatensystems zu diesem Punkt zu konstruieren,

einfach die Koordinaten, die der hat und einen Pfeil

darüber machen, wenn ich das jetzt einmal so unspektakulär sagen darf und das nennt man

den Ortsvektor, also da ist es nicht mehr wurscht, wo das einen Ursprung hat.

Das ist der Verbindungsvektor

zwischen Ursprung und Punkt.

Sie alle kennen, es müssen nicht

alle Koordinatensysteme rechtwinklig sein, Sie alle kennen

und auch nicht geradlinig, Sie alle kennen und

verwenden wahrscheinlich auch öfters ein Koordinatensystem,

das einmal sicher nicht geradlinig ist, nämlich welches?

Genau, die Breiten und Längen, gerade wenn GPS angegeben ist

und so weiter, das ist natürlich sehr sinnvoll, weil es ist genau entlang

der Erdoberfläche gewählt und daher braucht es auch nur zwei Koordinatenangaben,

weil einen da die Höhe nicht interessiert,

sondern nur wo ist das?

Und dieses Koordinatensystem ist

natürlich nicht geradlinig.

Was wichtig ist, wo ist Nullpunkt, Äquator und Nullmeridian?

Aus geografischen Gründen sehr eindeutig gewählt, weil das geneigt

ist zur Sonne, aber der Nullmeridian ist willkürlich,

das ist also Greenwich und man

gibt dann an, man gibt nicht Plus, Minus, man gibt östliche

Länge und westliche Länge,

nördliche Breite und südliche Breite an.

Genauso wie wenn man Nullpunkt hat, da gibt man Plus und Minus an und da gibt man

eben nördlich und östlich oder südlich

und westlich oder wie auch immer an.

Vektoren kann man einmal addieren, das heißt man zählt

die Komponenten zusammen.

Man kann sie mit einem Skalar multiplizieren

und zwar jetzt Achtung, wir werden da noch

mit Vektoren Verschiedenes treiben und immer genau schauen, was ist das da für

eine Größe. Also das A angewandt auf den Vektor ist

das A angewandt auf jede einzelne Komponente

und das verändert den Betrag. Auch vielleicht wichtig

ist, dass man da immer

bei einem Quadratischen immer die positive Wurzel sieht.

Der Betrag muss immer positiv sein.

Und die Multiplikation mit einem Skalar lässt die

Richtung gleich, also ändert nur die Länge.

Also Sie sehen, diese Formel da ist schon einmal viel komplizierter als die Anschauung.

Warum? Weil wenn wir diese Vektoren anschauen, dann tun wir nämlich

was? Ich habe die da so schön parallel gezeichnet,

da macht man eines, in Gedanken legen Sie sich Ihr Koordinatensystem

in die X-Richtung und sagen, das ist ja wurscht, dann ist das die X-Achse

und dann ist das einfach V zweimal V und da brauche ich nicht

sehr viel rechnen. Wichtig ist, was

vielleicht manchmal dann ein Sprung ist, weil es ist manchmal

wichtig, das Dreidimensionale durchzuhalten, weil

gewisse Größen miteinander wirken und die Kraft geht in die Richtung,

die Bewegungen in eine andere, das hat was miteinander zu tun.

Also ich finde es halt nicht besonders effektiv

jedes Mal zu sagen, die Projektion des Vektors auf, weil da verliere ich

immer den Überblick, also ich mag haben, wenn was ein Vektor ist, dann ist es

ein Vektor, dann schreibe ich ihn auch als Vektor hin. Allerdings wird es manchmal

mühsam, weil wenn man dann eh nur in einer Dimension ist, in einer Richtung ist,

dann legt man sich das Koordinatensystem in diese

Richtung und dann bekommt plötzlich die Richtung

wieder ein Vorzeichen, die Gravitationskraft geht natürlich meistens

nach unten, weil man im Kopf hat, eigentlich ist Null die Erdoberfläche

oder der Erdmittelpunkt, also da muss man, manchmal muss man, und das wird auch

vorkommen, aber das lässt sich eben nicht vermeiden, dass man von dieser

dreidimensionalen Schreibweise auf die eindimensionale sozusagen

wechselt, und weil man das alles eh in einer Linie sehen kann, also

immer dann einmal nachdenken und sagen, okay, es ist auch nicht verboten, Dinge,

die ich in der einfachen Schreibweise hingeschrieben habe,

in der Vektorschreibweise hinzuschreiben oder umgekehrt,

etwas was in der Vektorschreibweise ist, ah, jetzt legen wir uns das Koordinatensystem

praktisch und dann bleiben plötzlich ganz wenige Koordinaten über, also das

wird ein bisschen geschickt und dieses

Folien über Mathematik sollen in erster Linie dazu

dienen, dass sie, wenn sie dann irgendwo in der Physik irgendeine

komische Formel sehen, dass sie zurückgehen können und sagen, ah, da steht doch, das geht so.

So, was gibt's noch?

Das werden Sie auch noch gehört haben in der Schule, denke ich, das Skalarprodukt.

Hat das jemand nicht gehört?

Gut, es gibt immer verschiedenstes. Gut,

ein Skalarprodukt

multipliziert zwei Vektoren

und erhält einen Vektor

und man

multipliziert praktisch die Komponenten miteinander

und da habe ich Ihnen jetzt drei Punkte geschrieben, das ist im Prinzip, das ist

der Sprung von hier, hierher, ist jetzt

nichts, was man in aller Allgemeinheit so ganz

schnell rechnen kann, außer man beginnt

sich das zu vereinfachen, wenn Sie das in der Schule gemacht

haben, dann haben Sie das wahrscheinlich ausgerechnet, da haben Sie, wenn Sie sich erinnern,

folgendes gemacht, Sie haben zwei Vektoren, aber ich wollte jetzt nicht so

ins Detail gehen, weil das ist ja keine Geometrievorlesung, aber trotzdem

im Hintergrund bleibt, wie einfach so was sein kann. Sie haben zwei Vektoren,

zwei Vektoren liegen immer

wo? In einer Ebene. Das heißt, Sie können sich schon mal

die dritte, wenn Sie kein sehr verrücktes Koordinatensystem

wählen, können Sie da schon einmal die dritte Koordinate

null setzen und dann haben Sie

dann können Sie noch sagen

okay, und jetzt bin ich noch schlauer und sage, dieser Vektor

V zum Beispiel ist meine x-Achse, dann können Sie das

V2 auch null setzen und dann

bleibt U1 mal V1

und das Einzige, was Ihnen dann noch überbleibt, das ist das U2

das ist dann genau diese Zerlegung, man zerlege den Vektor bezüglich

des Ursprungs nach den Sätzen der Geometrie und es bleibt ein

Kosinus über, nur dass Sie es mit dem in Verbindung bringen, was Sie kennen.

Also das Skalarprodukt liefert

natürlich eine skalare Größe, darum heißt es Skalarprodukt

und wenn Sie normale Vektoren miteinander multiplizieren, dann kommt null raus.

Jetzt kommt das Kreuzprodukt, wer hat

das schon einmal gesehen?

Da reißt er nicht. Gut.

Beim Kreuzprodukt

multiplizieren Sie zwei Vektoren so, dass wieder ein Vektor rauskommt

und der dritte Vektor, der hat einmal

diese Länge

und die Richtung des Vektors

des Kreuzprodukts steht einmal normal

zu den Vektoren und er muss so sein, dass

diese drei Vektoren ein Rechtssystem

bilden.

Was ist das? Da gibt es dann

die rechte Handregel, Sie können eines natürlich wiederum machen

dasselbe, was ich Ihnen vorher gezeigt habe, Sie sagen einmal

Sie setzen hier alle Komponenten

also alle

Z-Komponenten setzen Sie

einmal null, das sind die Dreierkomponenten, dann bleibt da unten

nur mehr was über und dann bleiben eigentlich nur mehr zwei Werte

über und je nachdem, ob jetzt die Werte auf der X-Achse

der beiden Vektoren oder der Y-Achse positiv oder negativ

sind, kriegen Sie die Richtung von dem Vektor. Also diese Formel kann man nehmen und es hat

man ganz schnell irgendwo die Richtung, ohne dass man sich groß

ich mag das mit rechter Handregel eher nicht, mir ist das immer so lieber gewesen

Das Kreuzprodukt ist etwas, was wir nur brauchen werden

in sehr speziellen Anwendungen, wo wir es dann meistens mit einem

vereinfachten Koordinatensystem zu tun haben und die Formel

habe ich Ihnen hingeschrieben, damit Sie selber die Kontrolle haben, damit Sie nicht an irgendeinem

Beispiel dann hängen und sagen, wie ist jetzt die richtige Richtung und wie geht das

und wieso, sondern dass Sie da selbstständig mit

dem und mit einem vereinfachten Koordinatensystem arbeiten können.

So, jetzt natürlich

ich habe vorher vom Geschwindigkeitsvektor gesprochen, da ist natürlich relativ

klar, die Geschwindigkeit geht in eine bestimmte Richtung

und sozusagen zu jeder Zeit

und das ist eigentlich genug. Es gibt aber andere

Größen, wie zum Beispiel die Kraft, da ist das nicht genug

Wir wissen ja, die Gravitationskraft wirkt

auf uns zum Beispiel, die Gravitationskraft der Erde

wirkt an jedem Punkt der Erdoberfläche, aber auch noch

darüber hinaus, bis hinauf

in die Atmosphäre und nimmt natürlich dann ab

Sie müssen eigentlich jedem Punkt

eine Kraft zuordnen und dann brauchen Sie

etwas, der Punkt wird durch die

Koordinaten bestimmt und

die Kraft zum Beispiel ordnet

jeden Koordinatenpunkt einen Vektor zu und so etwas nennt man

ein Vektorfeld. Sie schreiben

dann in Komponentenschreibweise

Sie haben den Vektor F, den Kraftvektor, der hängt jetzt von

drei Koordinaten ab und selber hat aber auch drei Werte

Ist das soweit klar? Da gibt es da Fragen

dazu, weil es ist dann schon, Sie haben dann eigentlich

insgesamt, Sie haben drei Funktionen und drei

Variable zu berücksichtigen. Ist das

soweit einsichtig?

Da gibt es da irgendwelche Fragen dazu.

Und zu guter Letzt

zeige ich Ihnen jetzt einmal auf einem

mathematischen Level

Wir werden es aber dann kurz brauchen, auch damit Sie den vollen Überblick

haben, das Kurvenintegral. Kurven im Raum, die

werden wir häufig brauchen. Also Sie haben, wie ist das, schauen wir uns einmal überhaupt an

was da so eine Kurve ist. Sie haben das Koordinatensystem, da ist einmal jeder

Raumpunkt bestimmt und jetzt wird da

durchläuft eine Kurve jeden Raumpunkt

und diese Kurve wird selber durch einen Parameter

charakterisiert, zum Beispiel die Zeit. Natürlich können Sie

auch Parameter des X nehmen, das habe ich aber jetzt nicht gemacht, weil ich denke

es ist etwas verwirrender. Außerdem ist das auch ein nettes Bild, wenn man sagt

okay, ich gehe jetzt spazieren und ich schaue auf meine Uhr. Die Uhr

zeigt mir die Zeit und die Raumpunkte, die ich da sozusagen

abgrase, die sagen mir, wann ich wo bin.

So, jetzt hat natürlich auch diese Kurve

hat

eine Tangente, die etwas darüber aussagt, wie sie

sich verändert. Wir wissen ja beim Differenzieren in einer Dimension

ist das, die Tangente ist

die Steigung an einem Ort und

die wird beschrieben, indem ich diese Funktion

differenziere. Jetzt haben wir da drei Funktionen.

Jetzt haben wir drei Funktionen, weil die Kurve hat ja drei

Einträge und

jeder hängt von den Parametern ab und die kann man jetzt differenzieren.

Das habe ich Ihnen noch.

Wenn man darüber integriert, dann hat man das Kurvenintegral.

Wie gesagt, auch das werden Sie nur unter

Spezialfälle kennenlernen, also Sie müssen

jetzt nicht irgendwelche komplizierten Kurvenintegrale berechnen, aber wenn wir

dann auf die physikalischen Sonderfälle eingehen, wo

das alles dann natürlich die Variablen physikalische

Namen bekommen, dann können Sie immer auf das zurückgreifen.

Also ich habe jetzt da noch mal die Rechnung, was heißt das?

Also Sie schreiben die Kurve

hin, die war vorher, das war die Kurve, die wir vorher hatten.

Sie rechnen sich den Tangentenvektor an jedem

Punkt aus. Wie komme ich noch dazu? Sie bilden

das Skalarprodukt, hatten wir auch und dann hatten Sie

das ist ein Skalar, was daraus kommt, ist eine Funktion von T und die kann man integrieren.

Das ist so eine Handlungsanweisung, eins nach dem anderen.

So, wie erhält man dieses

dazu habe ich nur mit der Agente und mit der Hand ein bisschen hin und her

Wie erhält man die Namen, leitet das ab und da würde ich Sie schon

jetzt hinschauen, weil das werden wir zwar nicht beim Kurvenintegral, aber so schon

noch mal brauchen. Was passiert, ich habe das nicht als

Reichenregel hingeschrieben.

Wie haben wir gesagt, funktioniert das Produkt

eines Vektors mit einem Skalar? Das habe ich Ihnen gezeigt.

Und das haben Sie vorher auch schon gewusst. Produkt des

Vektors mit einem Skalar funktioniert wie? Kann es mir jemand noch mal

sagen? Bitte.

Wir schauen Sie einfach zurück. Wie funktioniert

Sie haben einen Vektor, der hat drei Komponenten, Sie multiplizieren

den Vektor mit einem Skalar.

Was machen Sie?

Mit jeder Komponente.

Ja, genau. Und eigentlich

und genauso wie Sie einen Skalar drauf multiplizieren, multiplizieren Sie hier

jetzt praktisch die Ableitung drauf. Das heißt, man wählt

jede Komponente dieser Kurve und leitet

die ab. Und das werden wir schon brauchen, wenn auch nicht bei Kurven, aber bei anderen Größen.

Damit werden wir uns schon befassen, wenn wir zum Beispiel, ich sage

jetzt irgendwas, die Geschwindigkeit ableiten. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Die leiten

wir ab. Man leitet jede Komponente ab.

Und auch die Frage, ich habe ja F

vielleicht, wenn wir da jetzt noch einmal herschauen. Also ich habe

Ihnen was erzählt davon.

Dieses F entlang

der Kurve wäre ein Vektor

in jedem Punkt. Und man sollte jetzt

annehmen, dass dieses F, wie ich vorher gesagt habe, das kann die Kraft sein,

das kann das Gravitationsfeld sein. Das heißt, das kommt jetzt an jedem Punkt

vor. Aber

warum, was mache ich da?

Ich möchte doch eigentlich jetzt ein F von X haben

und meine schöne Formel gibt mir ein F von T vor.

Wie kommt da das T hinein?

Irgendwelche Ideen?

Ich solle nach dem T integrieren. Ich integriere

das Skalarprodukt dieses Tangentenvektors

mit meinem F.

Und das F hängt aber von X ab. Wie kriege ich das T hinein?

Also das F hängt von den Raumpunkten ab. Wie kriege ich das T hinein?

Vorschläge?

Na, wie groß ist, wenn ich ein

Feld habe an jedem Raumpunkt? Wie groß ist es hier?

Wie kriege ich das? Ich habe eine Angabe F von

XYZ.

Nein, es ist viel einfacher.

Da braucht man nicht ableiten. Wir wollen das F an einem Raumpunkt.

Das ist jetzt nicht einfach.

Wenn man es dann einmal weiß und gewohnt ist, ist es einfach.

Aber solange man das nicht ist, ist es nicht einfach.

Naja, die Kurve gibt mir für den

Parameter

für jeden Parameter einen Raumpunkt an.

Das heißt, wenn ich sagen will, wie ist das F

dann zur Zeit T? Oder machen wir es so?

Ich habe gesagt, die Kurve ist eine Person, die in der Gegend herumspaziert und auf die Uhr schaut.

Und jetzt will ich wissen, welche Gravitationskraft wirkt auf diese Person.

Was mache ich dann?

Die Person schaut auf die Uhr und sagt, jetzt ist es so und so spät.

Woher weiß ich, welche Gravitationskraft auf diese Person wirkt?

Ich muss was wissen?

Die Kurve ist die Person, die sich bewegt.

Das ist das Max, was sich bewegt.

Das bewegt sich da und schaut immer auf die Uhr.

Wie spät es ist, wie spät es ist, wie spät es ist.

Wenn ich da bin, wenn ich da bin, wenn ich da bin.

Was muss ich machen, um zu wissen, welche Gravitationskraft auf diese Person wirkt?

Formeln arbeiten muss man immer, aber Sie könnten es richtig meinen.

Ja, welche Formel?

Die Gravitationsformel, ja, aber woher weiß ich jetzt,

wenn es bei mir auf der Uhr jetzt halb ist und ich stehe hier,

was muss ich dann machen?

Ich habe den Zeitpunkt und zu dem Zeitpunkt weiß ich, wo ich stehe.

Und wenn ich weiß, wo ich stehe, dann weiß ich, wie groß die Kraft ist.

Das klingt eigentlich logisch.

F von T ist F von K von T.

Das schaut irgendwie sehr brutal aus,

aber wir haben ja gewusst, F hängt von drei Werten ab.

X von T, Y von T, Z von T.

Ja, genau so, das ist die Anwendung.

Sie haben die Kurve K von T, die könnte jetzt zum Beispiel sein,

also dann sind wir wieder bei diesem,

das habe ich gefürchtet, dass so etwas auftritt,

weil dann sind wir wieder bei diesen furchtbaren Apparaten.

Aber probieren wir es einmal.

So etwas ist ja nicht so schwierig.

So, jetzt hoffe ich nur, es gibt da Stifte.

Hat da irgendjemand Stifte gesehen? Ach da, da haben wir sie schon.

Machen wir es einmal in einer Dimension.

Dann haben wir X von T,

machen wir eine sehr einfache Bewegung,

ist V mal T.

Und die Kraft F

ist zum Beispiel 1 durch X².

Dann ist F von T

ist gleich F von X von T

und das ist 1 durch X von T²

ist 1 durch V², T².

Jetzt haben wir noch keinen Vektor.

Ich habe nichts gemacht, ich habe eingesetzt.

Sie haben ein X von T.

Ich habe gesagt, ich kann nur in diese Richtung gehen,

ich bin ja zu verdammt, immer nur in die Richtung hin und her zu gehen.

Das ist das X von T.

Und auf mich wirkt eine Kraft, je nachdem, wo ich stehe.

Sagen wir, die würde sich ändern.

Die Kraft ist 1 durch X².

Die Kraft ändert entlang meiner Kurve.

Ich schaue auf die Uhr, ich will die Kraft wissen.

Dann muss ich sagen, wo bin ich?

Da kommt jetzt wieder das blöde Ding.

Dann muss ich sagen, wo bin ich?

Dann F von X von T ist 1 durch X von T².

Ich setze nur ein, ich habe nichts gemacht, nur eingesetzt.

F von T, das ist der gedankliche Schritt.

Das T gibt mir das X.

Und das F von X ist so wie bei der Kettenregel.

Sie haben ineinander geschachtelte Funktionen.

Und das ist etwas, was man sehr oft braucht.

Nein, muss ich da nicht.

Ich kann das X ableiten, aber das haben wir jetzt nicht.

Ich möchte nur wissen, was das I von X ist.

Ich kenne die Kraft an jedem Punkt.

Und ich habe jetzt eine Vorgabe, wie ich mich bewege.

Und das muss ich zusammentun.

Und dann kriege ich, wie sich die Kraft verändert,

entlang des Weges.

Es ist ein Ineinanderschachten von Funktionen.

Und das mit dem Vektor ist jetzt eigentlich nur,

ich kann das selbe zum Beispiel, ich kann mir die Kurve zerlegen.

Y von T ist Z von T ist

und dann kann ich F von X

YZ hinschreiben.

Und das F kann selber drei Komponenten haben.

Aber das ist jetzt eigentlich nur mehr

sozusagen rundherum.

Der entscheidende Schritt ist der.

Ich gehe, die Zeit sagt mir den Ort

und der Ort sagt mir, welche Kraft wirkt.

Es sind einfach zwei Schritte hintereinander, ineinander.

Ich werde Sie darauf aufmerksam machen,

wenn wir das dann in der Physik irgendwo haben, dass man es am besten

mal geht, dann wieder zurück.

Und schaut sich das dann noch einmal an.

Ich überlege jetzt gerade.

Sie haben zum Beispiel, Sie wissen ja,

es gibt Umlaufbahnen um die Erde.

Und der kreist da ganz von selber und muss gar nichts tun.

Jetzt können Sie aber auch theoretisch

mit einer Rakete zum Mond fliegen.

Diese Rakete hat nicht von selbst eine Bahn.

Die Rakete beeinflussen Sie. Das ist ein X von T.

Also wenn Sie sie hoffentlich steuern können, das ist eine zweite Frage.

Aber Sie können sie steuern entlang irgendeiner Bahn, die wir nicht kennen.

Und Sie steuern die

und dann überlegen Sie sich, wo wirkt welche Kraft auf die

Rakete. Das heißt, Sie geben die Bahn vor.

Das ist natürlich jetzt die Illusion, man kann das unabhängig, aber sagen wir,

das ist die Frage, wenn ich diese Bahn fliege,

welche Kraft wird dann mit der Zeit auf mich wirken?

Ich gehe schon wieder in meinen Winkel, weil ich sehe, das ist etwas problematisch.

Sie haben ineinander

geschachtelte Funktionen. Sie haben die Kurve, die gibt Ihnen zu jeder Zeit

an, wo Sie sind.

Und wenn Sie

wissen, wo Sie sind, dann wissen Sie, welche Kraft wirkt.

Aber

wir kommen eh noch ganz sicher darauf zurück.

Da werde ich Ihnen dann sagen, dass Sie jetzt dieses komplexe

Ding wahrscheinlich eh halbwegs souverän gemanagt haben.

So,

jetzt, ja bitte.

Der Ort zeigt mir die Kraft. Also wenn ich,

ich nenne es jetzt Kraft, im Prinzip sind wir in der Mathematik, da kann es irgendwas sein, aber die Kraft,

ja. Die Zeit zeigt jetzt, in dem

Fall ist das jetzt die Frage eine andere. Da ist die Zeit,

ich nehme an, ich kann die Kurve

beliebig vorgeben.

Ich nehme an, ich kann die Kurve beliebig vorgeben. Ich gehe da

und dahin und dann schaue ich, welche Kraft auf mich wirkt.

Das wären Sie, jetzt kommt ein Spoiler,

aber es ist vielleicht ganz gut, in der Schule irgendwas gehört, wir machen

es eh noch einmal von Arbeit und so. Arbeit ist Kraft

mal Weg oder so. Das geht nur, wenn die Kraft konstant ist

und wenn der Weg in dieselbe

Richtung läuft wie die Kraft. Das heißt, da nehmen Sie an, Sie können,

Sie müssen eine Arbeit verrichten, um ein Ding irgendwo hin zu

bewegen. Das heißt, Sie geben, die Idee von dem Integral ist,

Sie geben die Kurve vor, Sie geben die Kurve

vor und dann rechnen

Sie dieses Kurvenintegral aus und die Kurve

gibt Ihnen den Ort zu jeder Zeit vor und dann die Kraft

sagt Ihnen dann, wie groß die Kraft an diesem Ort ist.

Wo das dann in der Physikanwendung findet, müssen Sie schauen. Sie können nicht einfach sagen,

ja, das ist ein Kurvenintegral, weil es nicht ausschaut oder so.

So, jetzt zur Entspannung, Erinnerung.

Ich weiß nicht, ob Sie die Schreibweise kennen. Die Hochschreibweise

Potenzen kennen Sie und

man hat das natürlich abgekürzt, weil

sehr viel physikalische Größen sind 10 hoch irgendwas

oder 10 hoch minus irgendwas. Ich werde Ihnen

dann das bei den Übungsaufgaben geben.

Also ab 10 hoch 3 fängt man an, also 10 hoch 2

ist 100, da bequemt man sich eventuell noch dazu, normale Zahlen

hinzuschreiben, aber ab 10 hoch 3 fängt man dann

an, dass so, also 10 hoch 3, 10 mal

10 sind 1000 und 10 hoch minus 3 sind

0,001 und jetzt

können Sie sich das irgendwie merken, das ist eine gute Merkregel,

10 hoch 1, also da sind 1 wirklich nur natürliche Zahlen,

da sind das dann so und so viele Nullen und 10 hoch minus 1

sind auch, also hier die Nullen, dass Sie schön zusammengefasst können, die Nullen zählen

und dann wissen Sie 10 hoch so und so viel, 10 hoch minus

so und so viel.

Dann habe ich Ihnen noch zusammengeschrieben, es könnte sein, dass es noch eine

dritte Mathematikstunde gibt, die dann da dran hängt wird, da könnten

noch 2, 3 Begriffe dazukommen, aber mal fürs erste

was mir eingefallen ist, A proportional

zu B, manchmal wird es auch gleichzeitig

auch für ungefähr, aber es ist auf jeden Fall eindeutig, proportional

geht nur mit dem Zeichen und nicht mit was anderem.

A ungefähr gleich B, das ist etwas, was

man in der Physik, also ohne dem würde man in der Physik quasi verhungern,

da könnte man überhaupt nichts rechnen. Wir werden dann sehen, auch

um die einfachsten Dinge zu berechnen oder die Sachen, die schon zu Newton's

Zeiten gerechnet wurden, man braucht eigentlich ständig diese Annahme,

wenn man alles in der vollen Komplexität rechnen wollte, würde man

nicht fertig werden. Also Sie haben das vielleicht schon

gesehen, ich glaube der Gruber hat das relativ genau gemacht mit Galileo und dem

freien Fall, was man, vernachlässigt man den Luftwiderstand und so und das kann man

jetzt einmal so Daumen mal Pi machen, aber

wenn man nicht genau weiß, womit man es zu tun hat, muss man die Größenordnung

abschätzen, da sind dann diese 10 hoch minus

irgendwas dran und dann sagt man

ok, A ungefähr gleich. Die Frage ist

wann ist jetzt etwas ungefähr gleich, also was ist das, reicht

ein Hundertstel, ein Tausendstel, muss es 10 hoch minus 20 sein?

Da sind wir dann beim Kapitel Fehlerrechnung.

Das heißt, die Frage ist, wenn Sie jetzt etwas messen,

der Gruber hat mit Ihnen den Messfehler besprochen, es gibt

aber nicht nur den Messfehler, es gibt den theoretischen Fehler.

Das heißt, es nützt nichts, wenn Sie die Fallgeschwindigkeit

eines Gegenstandes auf 10 hoch minus

so und so viel von der Messgenauigkeit her messen, wenn Ihnen zum Beispiel

längst der Luftwiderstand hineinspuckt.

Das heißt, dieses A, also wie viel ungefähr

gut genug ist, ist eine Frage der Abschätzung.

Und damit natürlich auch im Zusammenhang

A sehr viel kleiner als B oder A sehr viel größer als B,

da arbeitet man mit diesen doppelten

Zeichen.

Zum Beispiel, ich nehme an, Sie werden alle gelernt haben,

in der Schule die Kepler-Gesetze,

müssen Sie jetzt nicht auswählen, aber

weiß jemand ungefähr, Sie müssen jetzt nicht genau auswählen,

da geht es um Ellipsen, in

deren Brennpunkt was ist.

Die, egal, also die Planeten bewegen

sich auf Ellipsen, in deren Brennpunkt was steht?

Die Sonne. Okay. Haben Sie eine Ahnung,

welches ungefähr da auf jeden Fall eingegangen ist?

Bitte?

Ja, also, nein, überhaupt, nein, entschuldigen Sie, das war jetzt von mir, welche Größen

wurden da gegeneinander abgeschätzt, wo hat man da eine

Nährung verwendet, damit man dieses Gesetz überhaupt formulieren kann oder

damit man es korrekt aus den Newton'schen Gleichungen überhaupt ableiten kann?

Überlegen Sie, das steht jetzt zur Disposition,

können Sie sich aussuchen, was meinen Sie, Sie haben die Erde,

zum Beispiel das Planeten und Sie haben die Sonne,

wo gibt es da einen großen Unterschied?

Und die Sonne ist nicht nur

größer, denn sie hat mehr Masse,

sie hat mehr Masse, genau.

Genau, genau.

Bitte? Ja, so weit sind wir noch nicht,

wir sind da nicht relativistisch, wir sind ganz brav

und harmlos, aber ja, die Sonne hat mehr Masse,

wie würde denn das Keplerische Gesetz lauten, wenn

es um einen Doppelstern ginge, also wenn das mit der Masse nicht

mehr passen würde, wenn die Massen ungefähr gleich sind?

Also nur die zwei Sonnen,

also statt der Erde hätten wir jetzt eine zweite Sonne oder einen zweiten Stern,

der ungefähr, wo Sie diese Nährung nicht mehr machen können.

Irgendein Tipp, wie dann das Keplerische Gesetz lauten würde,

das mit den Ellipsen, das würde nämlich nach wie vor stimmen, aber was würde es sein?

...

Vergessen wir jetzt einmal die Planeten, so wie es Sonne,

Erde gibt, gibt es nur Sonne und einen weiteren Stern,

oder einen weiteren Planeten, ja?

Alles würde nicht gleich bleiben, also Sie haben recht, mit den

Ellipsen, das würde schon stimmen, aber es würde eben,

schauen Sie, wenn ich sage, die Sonne steht im Brennpunkt und ist die Sonne

ausgezeichnet, weil wenn die zwei Dinge gleich schwer sind, dann kann nicht

ein Stern vom anderen ausgezeichnet sein. Also

was ist der Brennpunkt der Ellipsen? Der Brennpunkt der Ellipsen wäre dann

der Schwerpunkt der beiden. Die würden so beide umeinander gehen.

Nur, dass Sie wissen, ungefähr, wozu diese Zeichen gut sind,

also sobald man praktisch versucht, etwas abzuschätzen, etwas zu

rechnen, muss man immer wissen, kann ich das jetzt anwenden, für sehr viele

Bereiche ist das eh gut, aber dann irgendwann einmal kann ich es vielleicht nicht

mehr anwenden, um das muss man sich kümmern.

Gut, damit haben wir jetzt, gibt es jetzt noch irgendwelche Fragen

zu all dem? Gut, damit

haben wir mal die Mathematik abgeschlossen, es kann sein, dass noch ein drittes

Kapitel Mathematik dann kommt, aber eher

nächste Woche zum Schluss, das muss ich noch mit Herrn Grober besprechen, das sind Sachen, die er dann bringt,

ein bisschen vorziehen und dann noch ein drittes Mathekapitel dranhängen,

da wird es aber um ganz andere Dinge gehen.

Und damit ist die Mathematik abgeschlossen,

wir werden dann als nächstes mit der richtigen

Physik fortfahren, ja, und

ich wäre, Sie wären, es ist so, Sie wären, also bis am Freitag

werden Sie von mir jetzt zu dem und zu dem, was ich jetzt heute noch sage, mal Übungsbeispiele

kriegen, es wäre sehr nett, dass ich die Klasse noch möglichst lange zeit, weil ich

habe nichts davon, wenn Sie es nicht fertig bringen,

ich bin hier am Mittwochvormittag und am Donnerstag, am Nachmittag

habe ich eine Doppelstunde, also eine normale Stunde,

nicht so wie heute, und da werden wir

dann einmal über die Beispiele reden am Donnerstag, ich werde

aber am Donnerstag meine Stunde nicht fertig machen, ich werde

den Oberen Kapitel anhängen lassen, damit ich dann für das,

was ich nächste Woche noch mache,

Beispiele Ihnen gebe, die wir dann zur Zeit, dann kriege ich von ihm,

ich weiß nicht wie lange, das müssen wir uns noch ausmachen, auch wieder eine Zeit, dass wir dann

die Beispiele durchbesprechen, nur dass Sie ungefähr wissen, was auf Sie zukommt,

und jetzt würde ich sagen, machen wir mal 10 Minuten Pause und dann geht es weiter,

wenn das so in Ordnung ist.

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Wird der Kapitulum nicht um 15.00 Uhr durchgehend in Stiftung und Bürgergeheimnisse eingeführt?

Denn die Stiftung hat einen Kapitulum, der nicht um 15.00 Uhr durchgehend in Stiftung und Bürgergeheimnisse eingeführt.

Setzen wir fort.

Ich habe Ihnen vorher versucht, ein bisschen zu erzählen, wie das ist, wenn man praktisch irgendwelche Effekte behandelt in der Physik.

Da muss man dieses und jenes vernachlässigen.

Dafür kann man sich mit Dingen auseinandersetzen, die in der faulen Realität vorkommen.

Wenn man sich um die Grundlagen kümmert, dann versucht man einmal zu vereinfachen.

Man räumt die ganze Welt leer und versucht sich zu konzentrieren auf die Objekte und die Größen, die man braucht.

Das ist etwas, was die Physik zum Erfolg geführt hat.

Was aber für die, die es lernen sollen, manchmal ein bisschen befremdlich ist.

Ich muss immer ein bisschen schmunzeln, wenn der X-te Zeitungsartikel kommt.

Lasst uns doch über die Dinge reden, die in der Realität vorkommen, mit denen man was anfangen kann.

Das ist schon sehr schön und das versucht man immer wieder.

Natürlich ist das reizvoll und lustiger vorzutragen und zuzuhören.

Das Problem ist nur, dass die Dinge, die in der Realität vorkommen, wesentlich schwieriger zu behandeln sind.

Das führt keinen Weg daran vorbei, dass man einmal die nötigen Vereinfachungen vornimmt.

Das kann man nicht immer alles im Kopf machen, sondern das muss man einmal wirklich von Anfang an durchziehen.

Daher die Idee zu sagen, wir stellen uns einmal vor ein Universum, da ist einmal überhaupt nichts drinnen. Gar nichts.

Da ist Vakuum. Vakuum ist klar, draußen keine Luft.

Dann lassen wir einmal etwas zu. Wir lassen einen einzigen Körper zu.

Es ist auch immer so lustig, der Körper, was soll denn das sein?

Das wird dann alles mögliche, je nachdem von welchen Eigenschaften man absehen kann und von welchen nicht.

Wir machen es uns da jetzt einfach. Wir sagen, das ist ein Körper, ein Objekt.

Der hat einmal nur ganz wenige Eigenschaften, eine Länge, eine Breite und eine Höhe.

Und dann ordnen wir ihm eine Masse zu, wobei wir noch nicht hundertprozentig wissen,

wie wir diese Masse überhaupt überprüfen sollten, ohne dass wir mit irgendetwas dem Körper nahe kommen.

Das ist ein relativ fades Universum. Also dann versuchen wir uns einmal zu steigern.

Wir nehmen an, dieser Körper kann sich in Bewegung setzen.

Sobald sich der Körper in Bewegung setzt, können wir das machen, was ich vorher mit dieser Kurve ausgedrückt habe.

Wir können den Weg vermessen, den er zurücklegt und wir nehmen an, dass wir eine Zeitmessung haben.

Wir haben gesagt, der Körper bewegt sich in eine Richtung, also in unserem raumlichen Universum.

Haben wir gesagt, Richtung Koordinatensystem. Das heißt, die Geschwindigkeit wird die Richtung haben und das wird ein Vektor sein.

Und da betragen wir noch etwas an. Was sehen wir hier? Dieser Körper legt in gleichen Zeiten 1 Meter, 1 Meter, 1 Meter, 1 Meter pro Sekunde.

Also er legt in gleichen Zeiten immer den gleichen Weg zurück.

Das heißt, die Geschwindigkeit, die wir ihm zuordnen, ist nicht sehr überraschend.

Strecke pro Zeit, Meter pro Sekunde.

In der Physik müssen wir immer schauen, dass wir überall auch die Einheiten dazu schreiben.

Das ist bei der Mathematik nicht unbedingt notwendig oder auch nicht sinnvoll.

Und jetzt, jetzt machen wir das, was ich Ihnen gesagt habe.

Ich habe da jetzt einen vorherigen Vektor gezeichnet und wir reden jetzt nur von einer Strecke,

weil es ganz klar ist, wenn sich der jetzt in eine Richtung bewegt und immer gerade,

dann hat es jetzt einmal fürs Erste nicht sehr viel Sinn, hier mit Y- und Z-Achse herumzufummeln.

Also wenn Sie wollen, können Sie sich vorstellen, dass das die X-Achse ist.

Oder sind Sie hier bei der Strecke? Das ist genau das, wo ich gesagt habe, hin und wieder würde man da hin und her springen.

Aber das geht halt nicht anders.

So, jetzt so eine, das nennt man jetzt ein Wegzeitdiagramm.

Sie haben das schon verschiedentlich kennengelernt.

Ich habe es Ihnen gesagt, dem Graphen einer Funktion, da ging es aber wirklich nur die Funktion als Wert von,

also am Wert von und jetzt ist es ein Diagramm, um zu sagen, gut, da zeichnen wir uns jetzt wirklich den Weg auf.

Zu der Zeit ist er da, zu der Zeit ist er dort.

Vorsicht auch, dass in Rechtwinkeln in Glamour sind immer die Einheiten.

Und was man jetzt auch hinnehmen muss, da haben wir das S bedeutet Sekunden und da haben wir S von M.

Wir haben einfach nicht so, man hätte jetzt krampfhaft suchen können nach was anderem.

Wir haben einfach nicht so viele Parameter, das wird ja alles anders nennen.

Wissen Sie irgendwie, damit Sie reich kommen, darum hat man aber auch diese Grammern.

Ich habe das jetzt absichtlich so hingeschrieben, jetzt sind wir wieder beim Gurkenproblem vom letzten Mal.

Ich habe das absichtlich so hingeschrieben, wie man es in der Schule hört.

Y ist Kx plus D, was man jeder Immaturant im Schlaf sagen kann, wenn man irgendwann aufwägt.

Jetzt wollen wir aber nicht eine Gerade, also irgendeine Gerade in einem Buch beschreiben,

sondern wir wollen jetzt die Gleichung für unser Diagramm finden.

Das heißt, wir fragen uns jetzt, was ist das K?

Das K ist die Steigung, das heißt, Sie kennen das, Sie nehmen ein Stück des Weges.

Hier ist ein zurückgelegter Weg, verstrichene Zeit, hier immer ein Delta.

Warum schreibe ich hier ein Delta und nicht, wie es oft gesagt wird, ein S durch T,

was man schlamporterweise auch machen könnte. Warum?

Was wäre das Problem, wenn ich jetzt einfach S durch T schreiben würde?

Also wir haben K ist Delta, S durch Delta T.

Was wäre das Problem, wenn ich einfach S durch T schreiben würde?

Das Delta schaut jetzt eigentlich auch so, wenn Sie das irgendwas, irgendwas klingt das sicher in Ihren Ohren,

von der Schulbuchphysik und so, und da denken Sie sich, wozu schreibt ihr da jetzt das Delta her,

das klingt doch einfacher. Warum habe ich das gemacht?

Nein, das geht auch. Also, okay, ich könnte jetzt das S, ja, Sie haben recht,

es könnte theoretisch das Delta, es könnte auch negativ sein, ja, das stimmt.

Das ist es aber da nicht, aber ist korrekt. Aber warum noch?

Das würde uns bei diesem konkreten Beispiel Probleme machen.

Ja, aber warum? Man liest das oft in den Büchern, S durch T, ja.

Warum ist das in dem Fall, wenn ich das so aufgezeichnet habe, nicht korrekt?

Das ist einfach falsch.

Ja, also, weil ich hier dieses S0 habe. Nur wenn das S00 wäre, wäre es korrekt.

Wenn die gerade hier unten wäre.

Das heißt, was wir jetzt daraus lernen, in den Schulbüchern steht dann daneben,

ja, das ist zurückgelegter Weg durch Zeit.

In dem Moment, wo ich jetzt so ein Diagramm hinschreibe und eben das,

also entweder, hätte man es jetzt einfach machen können,

hätte das einfach in den Nullpunkt gezeichnet, hätte dann S durch T hinschreiben können

und es wäre alles so, wie Sie es gewohnt sind.

Nur, wenn Sie jetzt zum Beispiel, Sie wollen vergleichen,

Sie wollen zwei Bewegungen miteinander vergleichen,

dann können Sie sich nicht mehr aussuchen, wo Ihr Nullpunkt ist,

weil der eine beginnt da und der andere beginnt einfach irgendwo weiter vorne, weiter hinten,

was auch immer dann das S bedeutet.

Das heißt, was Sie daraus lernen können ist, auch wenn eine Formel irgendwo in einem Buch steht

und wenn sie auch gebräuchlich ist und auch in dem Buch ihre Berechtigung hat,

in dem Moment, wo Ihnen ein Beispiel gegeben ist, in dem Moment, wo Sie sich selber eine skizzen,

wenn Sie selber anfangen, Sie wollen sich jetzt irgendetwas skizzieren

und Sie wollen irgendetwas für sich selber berechnen oder aufnehmen oder aus einem Buch auch übernehmen,

müssen Sie immer schauen, was sind die Voraussetzungen dort, was sind die Voraussetzungen bei mir?

Und müssen immer genau schauen, nicht einfach, da steht die Formel und die schreibe ich jetzt ab

und alles ist gut und dann kommen Sie drauf ganz am Schluss.

Wir werden uns das dann kurz anschauen, was da rausgekommen wäre.

Das ist eigentlich ein Blödsinn.

Das ist irgendwie dann der Schritt zum selbstständigen Arbeiten mit auch relativ einfachen Sachverhalten

oder auch Dingen, die man von wo übernimmt.

Man muss sich anfangen, sein eigenes System zu machen und bei dem dann auch zu bleiben

und wirklich zu schauen, wo steht was und unter welchen Voraussetzungen steht das da.

V, Delta S durch Delta T ist die Geschwindigkeit.

Also in welcher Zeit wird welcher Weg zurückgelegt.

Delta S ist zurückgelegter Weg, Delta T ist die benötigte Zeit.

Jetzt sind wir bei der Geschwindigkeit, jetzt haben wir noch nichts mit dem S0 getan.

So und jetzt steht es da, S ist V mal T plus S0.

Und was wäre jetzt passiert, wenn wir jetzt da ohne irgendwie nachzudenken

einfach S durch T hingeschrieben hätten und vielleicht hätten wir da eine Wertetabelle gehabt.

Hätte ja sein können, da steht jetzt zwar noch keine Skalierung, aber die kann man ja hinschreiben.

Wir hätten eine Wertetabelle gehabt, wir hätten uns die Geschwindigkeit ausgerechnet.

Was wäre denn dann passiert?

Kann man das im Kopf machen?

S durch T ist, was kommt da raus?

Na was ist das? S ist V mal T plus S0, wenn Sie das durch T dividieren, was kommt dann raus?

Genau, das wäre aber ein Blödsinn.

Also so schnell kann es gehen, wenn man irgendwo nicht schaut und irgendwo nur was hinschreibt

und vielleicht was anderes im Kopf hat und denkt, das ist eh einfach und ist es aber nicht.

So, jetzt ist es aber so, wenn Sie eine beliebige,

warte mal, das war ein Spoiler, da habe ich eine Folie vergessen, die folie kommt zum Schluss.

Wenn Sie eine beliebige geradlinige Bewegung haben und Sie schauen sich da die Geschwindigkeit an

und ich habe Ihnen einmal so einfach gesagt, naja, wie ist denn das,

Geschwindigkeit, naja, stellen Sie sich vor, Sie fahren mit einem Auto, das was am Tachometer steht.

Was hat das jetzt mit Delta S durch Delta T zu tun?

Sie haben hier ein Delta S durch Delta T,

hier, aber Sie haben vielleicht, hier haben Sie auch ein Delta S durch Delta T

und hier ist das Delta S, wie Sie gesagt haben, ist jetzt plötzlich negativ.

Und da ist es wieder positiv, aber viel, viel, viel größer.

Also wie können wir die Steigung bestimmen?

Also Sie wollen ja da die Steigung wissen,

Sie wollen in Wirklichkeit, wollen Sie ja wissen, bei einer Geraden,

wollten Sie da die Steigung haben, weil das war ja unsere Geschwindigkeit.

Das ist der gute alte Schmäh, ich habe das Differential jetzt nicht mit dem Limit eingeführt,

weil das ist ja keine Grundlagenvorlesung in Mathematik, aber irgendwo ging es.

Oder ansonsten, wir haben es eingeführt, dass es immer die Tangente liefert

und die Tangente ist ja gerade die Gerade und die Steigung der Geraden war ja die Geschwindigkeit,

also differenzieren.

Weil da haben Sie jetzt zum Beispiel die Steigung hier,

dann haben Sie hier eine negative Steigung, hier ist die Steigung null.

Was passiert denn da in Wirklichkeit, wenn die Steigung null ist?

Ah, ja, aber was passiert mit der Bewegung?

Da ist die Geschwindigkeit null und Sie haben hier eine Richtungsänderung.

Also Sie bewegen sich hier zum Beispiel, wenn das S jetzt,

wenn das der Nullpunkt ist, der Nullpunkt ist da,

dann bedeutet diese Bewegung immer eine Bewegung zu positivem S

und da wird umgedreht.

Und am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit normalerweise null,

weil sonst hätten Sie eine Stufe drinnen, also das geht praktisch nicht.

Und hier haben Sie dann wieder die größere Steigung, Sie sehen schon.

Und jetzt ist das Ergebnis, die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit.

Das können Sie, das ist das, was Ihnen im Gedächtnis bleiben soll, Meter pro Sekunde.

So, und jetzt sind wir schon bei unseren Kurven.

Das, was ich Ihnen vorher gesagt habe,

die Kurve ist, Sie haben jetzt eine Kurve im Raum

und jetzt haben Sie hier, das ist der Ortsvektor,

das, was ich Ihnen als Ortsvektor gezeigt habe,

weil Sie haben hier x, y, z, das ist genau das, was wir vorher beschrieben haben,

jeder Punkt im Raum, x, y, z und jeder Punkt im Raum ist hier vertreten,

kann beschrieben werden durch eine Angabe der Koordinaten

und x von d, y von d, z von d beschreibt Ihnen die Kurve.

Also zu jeder Zeit gibt es hier drei Koordinatenangaben.

Und so wissen Sie, wie sich etwas durch den Raum bewegt.

Ist das soweit jetzt in Verbindung mit dem allen klar?

Weil das ist, wenn man das Konzept sozusagen verwenden kann,

erspart man sich an anderer Stelle sehr viele Umständlichkeiten.

Und jetzt haben Sie, je nach d, ds von d,

einmal habe ich das hineingeschrieben, ja, warten Sie, ich gehe wieder zurück,

so, da haben Sie wieder die Tangente, ja,

und jetzt haben Sie Ihren Geschwindigkeitsvektor

und das ist die Ableitung dieser Kurvenparameter.

Also dieser Kurven, der wertet der Kurve an einem bestimmten Parameter.

Und jetzt kommt das, was ich Ihnen schon im mathematischen Teil gezeigt habe,

Sie haben hier die Geschwindigkeit, hat natürlich jetzt auch drei Richtungen,

drei Raumrichtungen, Sie leiten den Vektor ab,

Sie noch einmal ausgeschrieben, Sie gehen in jede Komponente hinein

und kriegen die Geschwindigkeit in alle drei Richtungen.

Ist das soweit verständlich?

Ist das irgendwie, ja.

Das heißt, wenn es jetzt um unser Objekt geht,

wir haben dem Objekt, wir haben jetzt eine Eigenschaft dazu gefügt,

und zwar das ist die Geschwindigkeit.

Die Frage ist, wir haben jetzt eine Kurve gezeigt

und haben gesagt, na,

wie ermitteln wir die Geschwindigkeit?

Was passiert, wenn wir das umgekehrt machen möchten?

Also wir sind jetzt wieder in einer Dimension,

wir haben jetzt nur eine Geschwindigkeitsrichtung und eine Zeitrichtung,

und wir fragen uns jetzt,

wie man wieder zur Strecke zurückkommt.

Die Antwort ist,

durch das Integral, die Umkehrung des Differenzierens

ist das Integrieren, das heißt,

man kommt zurück durch ein Integral

und man nimmt jetzt zum Beispiel an,

man hätte eine konstante Geschwindigkeit, dann ist der Weg wieder

Geschwindigkeit mal Zeit plus, und jetzt haben wir gesagt,

es kommt beim Integrieren mit der mathematischen Formel,

war da eine Konstante dabei.

Und diese Konstante habe ich jetzt schon einmal S0 genannt. Warum habe ich das gemacht?

Das ist auch ganz wichtig. Also diese Konstante kann ich nicht kennen,

weil wenn ich weiß, ein Objekt hat in jedem Moment

eine Geschwindigkeit, habe ich keine Ahnung, wo sich das Objekt befindet.

Das heißt,

ich weiß aber sozusagen,

ich weiß, wie sich, also das geht jetzt nicht nur für die konstante Geschwindigkeit,

das gilt jetzt für immer, ich weiß, wie die Geschwindigkeit ausschaut,

dann kenne ich den Ort des Objekts

bis auf was? Bis auf

einen konstanten Wert. Und wie lege ich den fest?

Ich muss nur wissen, wo dieses Ding zu einem Zeitpunkt war

und recht geschickt ist es meistens, wenn man das zur Ausgangszeit nimmt,

t gleich 0. Wenn ich hier t gleich 0 setze, habe ich S ist S0.

Ist das soweit? Ist das soweit?

Auch das ist wichtig, weil oft, wenn Aufgabenstellungen sind,

dann ist oft so die Unsicherheit, eigentlich müsste ich das jetzt ausrechnen können,

wieso kann ich das nicht? Nein, kannst du nicht ausrechnen, das kann man nicht ausrechnen,

weil Integral ist eindeutig nur bis auf eine Konstante und wenn ich nur die

Geschwindigkeit kenne, habe ich einfach nicht jede Information. Entweder die wird mir vorgegeben

oder die Information ist beliebig.

So, und das Ganze gehen wir jetzt natürlich auch in 3 Dimensionen an.

Das schaut jetzt sehr wild aus, aber ist es nicht.

Wir haben wieder die Geschwindigkeit, die Ableitung

des Kurvenvektors und den Kurvenvektor kriege ich durch ein

Integral.

Und jetzt wenn wir annehmen,

dass die Geschwindigkeit, wir haben ja da diese Idee gehabt von dem Vektor

im Raum, der sich gerade nicht gleichförmig bewegt

und ich integriere jetzt über die Geschwindigkeit,

dann kann ich beim, integriere ich natürlich über

jede Geschwindigkeitskomponente, das steht auch so da, ich integriere über

jede Komponente, dann weiß ich die X-Komponente, die Y-Komponente

und die Z-Komponente.

Und jetzt, ich hoffe, das stiftet keine

Verwirrung, kann ich das T

nach vorn ziehen, das ist das Umgekehrte, wenn ich einen Vektor mit einem Skalar,

also erst einmal kann ich, das habe ich nicht extra aufgeschrieben als Regel, dass ich natürlich,

wenn ich die Komponenten addiere, kann ich den Vektor hier auseinandernehmen.

Ich hoffe, das ist soweit klar und ich kann aber auch das multiplizieren

mit einem Skalar und das T ist jetzt ein Skalar, geht natürlich auch umgekehrt,

so wie ich bei einem Bruch kürzen kann, kann ich bei dem Vektor bei jeder Komponente

eine rausnehmen und ich kann das so schreiben,

S von T ist V mal T plus ein konstanter Vektor.

Und das beschreibt jetzt eigentlich was?

Das beschreibt

eine Gerade im Raum.

Das sollten Sie eigentlich schon einmal in der Schule, glaube ich, gesehen haben.

Also da wird jetzt zwar nicht differenziert oder so, aber die Geraden werden angeschrieben

im Raum, dreidimensional.

Wozu habe ich das jetzt gemacht? Das ist jetzt eine große Überraschung. Ich habe eine konstante

Geschwindigkeit, ich integriere drüber und ich bekomme die Kurve raus.

Aber wieso könnte

das nützen? Sie haben ja schon alle ein bisschen Physik und so in der Schule gehabt.

Bei welcher Frage, mit der man sich meistens im Physikunterricht ein bisschen

plagt, könnte das eine Rolle spielen?

Was wird denn kommen?

Also wenn Sie das kennen, ja ungefähr, der Aufbau, der ist nicht sehr

unterschiedlich von dem, den Sie in der Schule kennen, was man der Reihe nach macht, nur halt ein bisschen

anders zusammengefasst und mit ein paar Ergänzungen.

Was kommt denn nach diesen geradlinigen

Bewegungen und gleichvermöglich beschleunigten Bewegungen, was kommt denn da als nächstes

meistens?

Bitte? Ungefähr eine ganz bestimmte, weil so viele

macht man normalerweise nicht.

Die ungefähr Beschleunigung kommt, aber die ist da relativ wurscht, aber was kommt dann?

Also die gleichmäßige,

aber was kommt dann als nächste Bewegung? Also eigentlich letzte,

was komplexeres macht man normalerweise nicht mehr. Die Rotation.

So und ist jetzt die Rotation,

ist die Geschwindigkeit bei der Rotation konstant oder nicht?

Ist die Geschwindigkeit bei der Rotation konstant oder nicht?

Die ändert sich, aber, und jetzt haben wir

einen Beweis, weil das wird oft dann relativ mühsam irgendwie bewiesen,

wir werden es jetzt auch noch einmal machen, aber wir haben es hier relativ klar, wir haben bewiesen,

dass wenn wir auf einer konstanten

Geschwindigkeit ausgehen, dann folgt daraus,

dass diese Bewegung eine geradlinig gleichvermögliche Bewegung

ist. Das heißt, eine Kreisbewegung kann nie von einer konstanten

Geschwindigkeit ausgegangen sein. Also es ist relativ klar, konstante

Geschwindigkeit bedeutet gerade eine gleichförmige Bewegung und Umgekehrt.

So, jetzt gibt es natürlich die Beschleunigung.

Hat jemand einen heißen Tipp, wie die Beschleunigung

definiert ist?

Bitte.

Er hat

immer, es ist die Einheit.

Wir haben ja gesagt, es ist die Geschwindigkeit definiert.

Nein, haben wir nicht gesagt.

Meter pro Sekunde, aber nicht Weg durch Zeit. Gut, dass wir davon sprechen.

Gehen wir zurück.

Was steht da?

Wir haben sogar einen Weg abgeleitet nach der Zeit.

Sie haben selber von der gleichförmig

beschleunigten Bewegung gesprochen. Da würde Weg durch Zeit auch gar nicht mehr

stimmen.

Daher ist im Allgemeinen, ja, ist die zweite Ableitung, genau.

Und daher würde auch,

und daher, ich weiß, das ist ein bisschen

gewöhnungsbedürftig. Mit den Einheiten passt das schon.

Aber es geht eben um die Ableitung. Es geht darum, dass man, wenn die Kurve,

ja, das ist der Sinn gewesen, die Kurve sich da anzuschauen.

Ja, das ist, wir haben es im Raum gemacht, aber das ist schon da.

Weil Weg durch Zeit wird mir hier nichts nützen.

Wenn ich hier Weg durch Zeit weiß, weiß ich gar nichts.

Ja, ich kann sogar, wenn das zur Achse wieder runterkommt,

kann Weg durch Zeit sogar null sein.

Ist zu wenig.

Also ein Begriff, den ich jetzt nicht eingeführt habe, den Sie auch oft finden

und Sie sich nicht wundern, das ist die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Das möchte ich aber sehr absichtlich nicht machen. Ich zeige es Ihnen.

Bei der Durchschnittsgeschwindigkeit sagt man, Sie wissen ja, wenn Sie wissen,

die Geschwindigkeit ist durch den Limes definiert.

Das heißt, man lässt das immer mehr zusammenrücken. Und jetzt kann man

natürlich sagen, okay, na ja, aber wenn ich hier Delta S durch Delta T

auf diesem Abschnitt definiere, wäre ich wahrscheinlich, wir sehen ja schon,

das kommt einer geraden halbwegs nahe, werde ich nicht, liege ich nicht so schlecht.

Liege ich einmal nicht so schlecht.

Und das wird schon irgendwie hinkommen und das wird dann den Begriff der

Durchschnittsgeschwindigkeit gebraucht.

Ich habe ihn da nicht eingeführt aus einem anderen Grund, weil Sie werden

dann noch bei der Thermodynamik, Sie werden nämlich noch

Geschwindigkeitsverteilungen kennenlernen und da ist dann die

Geschwindigkeitsverteilung definiert als wirklich etwas Statistisches.

Und Sie versuchen da jetzt ohne Not Durchschnitt einzuführen.

Natürlich können Sie immer, Sie können jede Größe immer annähern und

schauen, wie gut die Näherung ist, aber weil Durchschnitt ist dann im Sinne

eines Mittelwerts zu sehen und nicht im Sinne von ungefähr da die Steigung

hinbekommen und aus dem Grund habe ich das vermieden.

Gut, wir waren bei der Beschleunigung.

So, ja, wir sind, ja, Beschleunigung.

Jetzt sehen Sie, das ist jetzt einmal eine beliebige

beschleunigte Bewegung, soweit ich das da jetzt erkennen kann.

Ich hoffe, ich habe jetzt kein Muster übersehen.

Das heißt, Sie haben wieder das einfache Objekt und dieses Objekt legt

eben jetzt nicht in gleichen Zeiten gleiche Wege zurück, sondern einmal

mehr, einmal weniger und so weiter.

Und eben die Geschwindigkeit ist die, die Beschleunigung ist die erste

Ableitung der Geschwindigkeit.

Haben Sie eine Idee, wie man das, wir werden es dann noch später machen,

aber ich habe es jetzt da vorne nicht hingeschrieben, wie man das auseinanderhängen kann.

Wenn die Beschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit ist

und die Geschwindigkeit die erste Ableitung des Weges ist,

was kann man da noch für die Beschleunigung schreiben?

Irgendwelche Vorschläge?

Mal probieren wir es doch wieder mit diesen Dingern da.

Ich glaube, ich sollte die Größe schreiben.

Irgendwelche Ideen, was man da noch draus machen könnte?

Was muss ich denn schreiben, wenn ich

das da einsetzen will? Was habe ich dann?

Vorschläge?

Ja? Bitte?

Nein? Schreiben wir es noch anders.

Die Ableitung genau, bitte.

Es ist offenbar nicht angegeben.

Ja, aber das ist ja, ich brauche ja da,

ist alles korrekt, nur ich brauche da kein Diagramm.

Ich möchte es jetzt in Schreibweise, damit das gleich an der Stelle vielleicht da ist.

Ja, die Artikel ist einmal richtig.

Weiter.

Schreiben wir es vielleicht einmal auseinander.

Das ist nicht so klug von mir.

Dann schreiben wir es einfach hintereinander.

Ableitung kann man mehrmals hintereinander anwenden.

Und jetzt schreibe ich Ihnen gleich dazu.

Also das schreibt man einfach so.

Das ist eine Schreibweise,

bedeutet aber dasselbe. Das ist das, wofür es in der Schule dann

S2 Strich geschrieben, also haben wir ein X oder man schreibt dann S2 Punkt.

Es ist jetzt inhaltlich nichts Neues in dem Sinn,

aber ich habe mir nur gedacht, vielleicht ist es doch gut,

wenn einem das klar ist.

Können Sie sich dann damit auch bei den Diagrammen, die gleich kommen,

etwas leichter machen?

Schauen wir uns noch an.

Ja, die Beschleunigung ist natürlich auch ein Vektor.

Klar, kann auch jede Richtung haben.

Also auch wieder in die XY und die Z Richtung.

Und eine Bewegung

mit konstanter Beschleunigung,

die heißt gleichförmig beschleunigte Bewegung, wir hatten schon.

Wo kommt die in der Physik ganz intensiv vor?

Auch schon hier mal kurz, wenn es auch wahrscheinlich nicht so genannt wurde,

aber überhaupt in der Physik, wo wird Ihnen das als allererstes

einmal irgendwie an einem Anwendungsbeispiel,

das wir alle kennen im Alltag?

Ja, das ist ein ganz wichtiger Punkt,

ein Anwendungsbeispiel, das wir alle kennen im Alltag.

Viel einfacher. Autofahren ist in dem Sinn,

wenn ich sage, wo kommt sie vor, heißt, wo kommt sie natürlich vor. Natürlich kann ich ein Auto

gleichförmig beschleunigen, aber das ist etwas, was ich mache, so wie wir geredet haben von der

Kurve, die ich mache, aber wo kommt sie in der Physik, wo kommt sie natürlich vor?

Gravitation, aber nur

das Fallgesetz, wie es so schon heißt,

also in der Nähe des Erdmittelpunktes, also in der Nähe der Erdoberfläche.

Dann haben wir konstante Beschleunigung, das kommt aber auch noch, entlang einer Linie,

das heißt, in einer Dimension kann man dann wieder schreiben,

Delta V durch Delta T, genauso wie wir gehabt haben bei einer

gleichförmigen Bewegung, wenn die Geschwindigkeit konstant ist, kann man

schreiben, Delta X durch Delta T und bei einer gleichförmigen Beschleunigten Bewegung kann man

schreiben, Delta V durch Delta T, weil das bedeutet, es ist eine Konstante

und das bedeutet nämlich, dass die Geschwindigkeit linear ist.

Wenn die Bewegung linear ist, gleiche Zeiten, gleicher Weg,

in gleicher Zeit, dann ist die Geschwindigkeit eine Konstante,

aber wenn die Geschwindigkeitsänderung immer dieselbe

Geschwindigkeitsänderung in derselben Zeit, dann ist die Beschleunigung eine Konstante, sozusagen

um eines hinaufgebracht.

Und da haben Sie jetzt das für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung,

haben Sie das natürlich hier angewandt.

Was für eine Bewegung, Sie haben hier eine gleichförmig

beschleunigte Bewegung, wo A konstant ist, die Steigerung ist 0.

Was hätten wir denn für eine Bewegung, wenn diese Linie

ganz unten wäre?

Was hätten wir dann für eine

Bewegung?

Bitte? Ich verstehe Sie nicht.

Nein, das

Ja, wir hätten keine Beschleunigung, aber welche Bewegung hätten wir?

Eine?

Eine geradlinig gleichförmige Bewegung, hätten wir eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit,

genau, das heißt, das ist ein Sonderfall.

Damit haben wir eine

lineare Geschwindigkeitszunahme.

Wir haben vorher das Integral gehabt,

die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung plus C1, steht da.

Ich habe Ihnen gesagt, wenn Sie integrieren, dann gibt es etwas, was Sie nicht wissen.

Also, weil Sie die Konstante haben bei der Geschwindigkeit,

wissen Sie den Ort nicht, was wissen Sie denn bei der Beschleunigung nicht?

Weil Sie nur die Beschleunigung eines Objekts können.

Ja.

Sie wissen weder die Anfangsgeschwindigkeit noch den Anfangsort.

Das heißt, beides müssen Sie festlegen.

Sie haben hier das noch einmal aufgesetzt mit dem Integral.

Also, das Integral über die Zeit,

er gibt Ihnen die Geschwindigkeit und die Steigung.

Und umgekehrt kommen Sie,

wenn Sie die Geschwindigkeit abbreiten,

kommen Sie zur Beschleunigung.

Das ist noch einmal sehr schön deutlich gemacht.

Und jetzt ist das Integral

über die Geschwindigkeit, das ist jetzt die gleichmäßig beschleunigte Bewegung,

die geht quadratisch und da haben wir die zwei Konstanten,

die Sie festlegen müssen.

Und K ist dann eben die Steigung an jedem Ort.

In dem Fall, man schreibt da normalerweise nicht K,

K schreibt man meistens nur, wenn es um eine einzige Konstante geht.

Aber in dem Fall ja, in dem Fall ändert sich die Steigung an jedem Ort.

Die Steigung wird immer größer, größer, größer, größer.

Und da haben Sie noch einmal durch das Integral

kommen Sie zur Bewegung und wenn Sie die Bewegung ableiten,

kommen Sie wieder zur Geschwindigkeit zurück.

Da haben Sie ein bisschen die Mathematik dahinter und Sie kommen mit diesen Diagrammen durch,

sozusagen, Sie müssen sich dann nur noch überlegen, positiv, negativ, was das bedeutet.

Und mit diesen drei Diagrammen kommen Sie so ungefähr durch die meisten Bewegungsdiagramme, die Sie finden.

Auch bei Aufgaben, auch wenn die Aufgaben sind natürlich allgemeiner, geht es nicht nur um gleichförmige Beschleunigung,

da geht es dann meistens auch um Verschiedenes. Aber Sie können ungefähr von der Form, geht das hinauf, geht das hinunter,

nimmt das zu, nimmt das ab. Wenn Sie diese Kurven irgendwo im Hinterkopf behalten, schadet das nicht.

Und da haben Sie jetzt noch einmal auch zweifache Ableitung nach X.

Wir haben es S genannt, da steht X, ist aber nicht so wichtig.

Sie haben jetzt hier die zweifache Ableitung. Die Beschleunigung ist die zweifache Ableitung des Ortes nach der Zeit.

Und zurück kommen Sie mit zwei Integralen. Und zwei Integralen bedeutet eben zwei Konstanten.

So, und jetzt sind wir bei der Bewegung, die ich Ihnen schon angekündigt habe, bei der Kreisbewegung.

Wir haben gesehen, das ist keine geradlinige Bewegung und die Geschwindigkeit ist nicht konstant.

Allerdings gilt, Sie können Sie immer festlegen mit X, Y.

Warum brauchen wir hier keine dritte Koordinate? Sonst haben wir immer drei Koordinaten im Raum gehabt.

Wieso brauchen wir die dann nicht?

Ja, die Antwort ist völlig richtig. Aber sozusagen, der Punkt, ja, es ist in einer Ebene.

Damit braucht man sich die dritte Koordinate absolut nicht antun.

Jetzt gibt es die gleichförmige Kreisbewegung.

Das heißt, in gleichen Zeiten werden gleiche Winkel überschritten.

Das ist ein Spezialfall von der Kreisbewegung. Sie haben einen Winkel, einen zweiten Winkel, einen dritten Winkel und so weiter.

Sie haben hier, ist noch einmal gezeigt, X- und Y-Achse.

Und die Geschwindigkeit hat auch eine X-Richtung und eine Y-Richtung.

Und jetzt ist die Frage, wie ändert sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit?

Also, Sie haben einmal in die eine Richtung, einmal da zeigt sie nach unten, dann zeigt sie nach links,

dann zeigt sie nach oben und dann ist sie wieder am Ausgangspunkt.

Da sich die Geschwindigkeit ändert, wie wir auch schon gesehen haben, aber es steht hier noch einmal,

alle Rotationsbewegungen, auch die gleichförmige, sind beschleunigte Bewegungen.

Allerdings, was konstant ist, bei einer gleichförmigen Bewegung, ist die Geschwindigkeit.

Der Betrag der Geschwindigkeit ist konstant.

Allerdings können wir uns die Winkelgeschwindigkeit definieren.

Die Winkelgeschwindigkeit, und jetzt haben Sie wieder, bei der gleichförmigen Rotation,

werden in gleichen Zeiten gleiche Winkel überstrichen.

Und Sie haben Delta V durch Delta T, also wieder wie bei der Geschwindigkeit, Delta X durch Delta T und so weiter.

Der Winkel wird in Radiant angegeben, das heißt, der Winkel wird in Vielfache von Pi angegeben.

Und Sie haben die Umlaufzeit T unterüberstrichene Winkel und aus dem Grund haben Sie Delta V2 Pi durch die Umlaufzeit.

Sie haben, das bedeutet, Sie können jetzt umrechnen,

die Geschwindigkeit ist, wenn Omega die V nach der T ist,

dann ist das gleich Winkel durch Zeit, das ist 2 Pi durch T.

Und die Bahngeschwindigkeit ist, Sie wissen, dass die Bahngeschwindigkeit V mal dS ist und damit 2 Pi R durch T ist.

Also 2 Pi R ist der Umfang des Kreises und T ist die Umlaufzeit.

Sie könnten aber auch sich das direkt anschauen und das machen wir dann, wir machen jetzt wieder 10 Minuten Pause

und dann schauen wir uns an, wie wir mit dem Gebrauch von Vektoren und Ableitungen uns die Geschwindigkeit direkt ausrechnen können und auch angeben können.

So.

Vielen Dank.

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