What is the name of this?
Guten Morgen. Funktioniert ja, funktioniert.
Wir fangen an. Wir haben das letzte Mal immer hineingegangen in die nutmischen Prinzipien,
das Kraftgesetz noch einmal ganz genau angeschaut und das dritte nutmische Aktionbund, ein bisschen
angeschaut, was daraus folgt. Wir kommen jetzt zu den Erhaltungssätzen, die Sie auch alle sicher
schon gehört haben. Was vielleicht nicht so klar ist, ist im Prinzip steht in den nutmischen
Gleichungen, also wenn man weiß, welche Wechselbewegung die Kraft verursacht, alles
drinnen. Die Erhaltungssätze sind ein Service, sie sind eine Abkürzung, damit schneller geht,
beziehungsweise in manchen Fällen, die man gar nicht mehr so einfach rechnen kann,
um sozusagen einen ungefähren Überblick über den Bewegungsablauf zu geben, beziehungsweise zu sagen,
was sicher nicht passieren kann. Also ganz einfaches Beispiel, wenn wir wissen, dass die
Planeten alle in einer Ebene einmal liegen, dann wissen wir, egal wie die Kräfte im Einzelnen
wirken, da alle Impulse zum Beispiel in die Fläche zeigen, kann nicht ein Planet plötzlich auf der
Reihe tanzen, solange alle anderen in einer Ebene sind. Nur so als Beispiel, das sind sehr grobe
Dinge, wir werden noch ein paar andere Sachen kennenlernen, die man damit abschätzen kann.
Gut, zuerst einmal, die Kräfte addieren sich wie Vektoren, also wenn mehrere Kräfte wirken,
dann addiert sich die Vektorsumme und die Kräfte zusammen, wenn sie auf einen Körper wirken,
ergeben eine Beschleunigung. Das wird auch oft als Zusatz zu den newtonschen Axiomen bezeichnet.
Jetzt kommt es zur Impulsdefinition, also ein Objekt, auf das keine Kraft wirkt,
ist also Massimalbeschleunigung gleich 0 und jetzt kann man anfangen zu sagen, na gut,
wenn das so ist, dann ist, wir kennen jetzt momentan einmal die Kraft nicht,
das soll einmal ganz allgemein gehen, unabhängig davon, wie die Kraft wirkt. Wir
integrieren über die Kraft, also wir sagen, wir haben eine bestimmte Bewegungsrichtung,
wir haben irgendeine Bahn und die Kraft, da gibt mir die Kraft dann jeden Punkt vor,
ohne dass ich das jetzt genau weiß. Wenn ich über die Kraft integriere,
integriere ich gleich über die Beschleunigung und das gibt Masse mal Geschwindigkeit,
weil die Ableitung der Geschwindigkeit ja die Beschleunigung war und wir wissen,
dass die Geschwindigkeit konstant ist, aber wir haben es uns da jetzt praktisch noch einmal klar
gemacht, weil ja das Integral über, also weil sozusagen die Ableitung einer Konstanten immer
0 ist, das heißt, wenn die Kraft 0 ist, muss der Impuls eine Konstante sein, muss der Impuls
erhalten sein und diesen neuen Begriff definiert man sich einmal als Impuls.
Jetzt waren wir bei einem Objekt, was ist, wenn jetzt zwei Objekte wirken, also F1,2,
F2,1. F1,2 ist immer als erstes, steht immer der Index für die Masse 1. Wir haben zwei Massen,
zwei Körper mit zwei Massen 1. 1 ist die Kraft, die auf diese Masse wirkt von
dem zweiten Objekt. Dann wissen wir, da die Kraft nach dem Reaktionsprinzip, die Kraft gleich der
Gegenkraft ist, muss sich die Summe aufheben. Jetzt können wir das wieder integrieren und
kommen darauf, dass die Summe über die Impulse konstant ist. Also wir integrieren einmal über
die Kräfte. Wir bekommen aus dem Kraftgesetz eingesetzt jeweils die Beschleunigungen. Das
Integral über die Beschleunigungen ergibt uns die Impulse und jetzt wissen wir, dass der Impuls
des einen Objekts plus dem Impuls des anderen Objekts 0 sein muss. Wir haben vorher schon
über das Rückstoßprinzip gesprochen, dass zum Beispiel bei einer Rakete zum Einsatz kommt,
dann habe ich Ihnen das Beispiel mit dem Oktopus erklärt. Fällt Ihnen noch was ein,
zum Beispiel für das Rückstoßprinzip selber irgendwas, was auch sehr gern als Beispiel
gebracht wird? Also wenn zum Beispiel beim Waffengebrauch, wenn jemand eine Waffe abfällt,
gibt es einen Rückstoß, also zurückgestoßenes Geschoss geht nach vorne, der Mensch geht nach
hinten. Jetzt haben wir das beim Rückstoßprinzip beim Kraft ist gleich Gegenkraft gebracht,
aber das kann man natürlich genauso gut für den Impuls sagen, weil wir haben das ja aus dem
Kraft ist gleich Gegenkraft Prinzip gewonnen. Warum ist es trotzdem sinnvoll, das zu machen?
Weil wir haben das ja jetzt einmal nur für zwei Objekte gemacht und das Ganze, dass die Summe der
Impulse konstant ist, aber man kann das natürlich auch für drei Objekte machen. Schauen wir uns an,
wie es da ausschaut. Da haben wir jetzt die Summe der Kräfte, die auf das erste Objekt wirkt,
kommt vom zweiten und vom dritten. Die Summe auf das zweite Objekt kommt vom dritten, ersten und
zweiten und so weiter. Jetzt wissen wir, dass die Kraft auf das erste Objekt kommt vom zweiten und
dritten, auf das zweite vom ersten und dritten und auf das dritte vom ersten und zweiten. Jetzt
habe ich aufgrund des Reaktionsprinzips immer die Därme, die ich Ihnen gleich eingefärbt habe,
kürzen sich weg, weil F1,2 plus F2,1 ist 0. Jetzt haben wir diese Summe. Was machen wir mit
der Summe? Wir wissen, dass aber, ich habe gesagt, die Kraft, die aufs erste Objekt wirkt, vom zweiten
und vom dritten. Die Summe ist die gesamte Beschleunigung auf das erste Objekt. Warte,
ich sollte vielleicht mit der Maus hinzeigen, nicht mit dem Finger. Ist die gesamte Beschleunigung auf
das erste Objekt, die Kraft, die aufs zweite Objekt wirkt vom ersten und dritten ist die gesamte
Beschleunigung aufs zweite Objekt. Die Kraft, die auf das dritte Objekt wirkt, ist die Gesamtsumme
vom ersten und zweiten Objekt. Jetzt wissen wir, dass die Summe dieser Beschleunigung 0 ist. Das
ist jetzt schon etwas Neues. Das ist jetzt nicht mehr so einfach zu sehen. Jetzt ist es eine neue
Information. Also die Summe dieser Beschleunigung ist 0, weil an sich haben diese Beschleunigungen
nichts miteinander zu tun. Das sind drei Beschleunigungen von drei Objekten, die irgendwie
alle drei aufeinander wirken. Jetzt haben wir herausgefunden, die Summe dieser drei Objekte
ist 0. Jetzt integrieren wir wieder darüber, machen dasselbe wie vorher und wir finden,
dass die Summe dieser drei Impulse konstant ist. Also wir wissen jetzt, die Summe der drei Impulse
ist konstant und das ist schon einmal nicht mehr so einfach, weil wie Sie vielleicht wissen,
Newton hat ja gleich wie er sein Kraftgesetz aufgestellt hat, das Gravitationsgesetz aufgestellt
hat, konnte er schon die Planeten Bahnen berechnen. Das ging relativ schnell. Das
Dreikörperproblem konnte man allerdings immer erst mühsam mit Abschätzungen berechnen. Da hat man
auch einen weiteren Planeten gefunden. Da hat man gefunden, die Bahnen von zwei Planeten,
das passt nicht. Und da hat man dann einen dritten Planeten, ich glaube, das war der
Neptun, wenn ich mich nicht irre. Also hat man den Neptun vorausgesagt, bevor man ihn noch
beobachten konnte. Wenn man gesehen hat, die anderen zwei, die werden durch irgendwas gestört.
Das waren aber sehr mühsame Näherungsrechnungen und erst wie im vorigen Jahrhundert die Numerik
mehr zum Tragen gekommen ist, hat man dann, können Computersimulationen machen. Heute
können Sie, ich nehme es an, ich habe es nicht probiert, aber ich nehme an, wenn Sie heute
irgendwo nachschauen, können Sie wahrscheinlich irgendwo eine Simulation finden vom Dreikörperproblem
und können irgendwelche Werte eingeben und dann kriegen Sie ein schönes Bildchen. Das war vor
mehr als 100 Jahren ein Traum. Das konnte man nicht, da musste man abschätzen und Näherungen
machen. Und darum, aber, und auch heute gibt es Probleme, die selbst für die Numerik nicht so
einfach sind. Vor allem das Problem bei der Numerik ist ja das, dass man immer nur, da kann man immer
nur ein Problem lösen für eine Zahl und dann kann man noch ein Problem lösen für noch eine Zahl.
Wenn ich aber das allgemeine Problem lösen kann, dann weiß ich das unabhängig davon, wie meine
Anfangsbedingungen gesetzt sind. Und darum ist es wichtig, dass man weiß, da gibt es sowas wie
Impulserhaltung. Das schränkt die Möglichkeiten der Bewegung ein. Es gibt sie nicht hundertprozentig
vor. Wir werden dann Fälle kennenlernen, wo man aus den Erhaltungssätzen alles ableiten kann.
Aber das kommt halt darauf an, wie viele Unbekannte habe ich und wie viele Erhaltungssätze habe ich.
Zum Beispiel, wenn ich drei Impulse habe, dann habe ich, wie viele Unbekannte, Sie haben drei
Impulse in der Raumzeit, wie viele Unbekannte habe ich? Also drei Objekte, vergessen Sie jetzt mal
den Impuls. Sie haben drei Objekte, die sich in der Raumzeit bewegen, also die sich im Raum
bewegen. Raumzeit entschuldige ich mich, das kommt von meiner Spezialisierung, die sich im Raum
bewegen. So, drei Objekte, wie viele Unbekannte haben Sie? Sie wollen drei Bewegungen im Raum
voraussagen. Ja, neun, drei, drei, drei. Jedes Objekt hat drei, ja, jedes Objekt hat drei
Koordinaten, x, y, z. Und das sind aber jetzt, wie viele Gleichungen haben Sie, wie viele
Gleichungen haben Sie da? Diese Impulsehaltung, wie viele Gleichungen haben, sagt Ihnen,
wenn Sie Fragen haben, sagen Sie das laut, weil das hilft uns.
Ja, Vorsicht, wie viele Unbekannte, wenn Sie, für ein Objekt hätten Sie sechs Anfangsbedingungen,
aber ich frage, wie viele Unbekannte, weil wenn ich weiß, wie sich das Objekt durch den Raum
bewegt, weiß ich eh schon alles. Ich muss sechs für ein Objekt, sechs Vorgaben machen, dass ich
überhaupt weiß, wo ich bin. Aber ich habe sechs Unbekannte, wenn mir jemand diese Aufgabe stellt,
habe ich sechs Unbekannte. Ah, habe ich drei Unbekannte, Verzeihung. Jetzt habe ich drei
Unbekannte und für jedes dieser Objekte sind neun. Gut, und diese Impulsehaltung, diese nette,
wie viele Gleichungen gibt Marie? Bitte? Sie haben neun Unbekannte, aber wie viele Gleichungen haben
Sie hier? Nein, es geht nicht. Sie haben, wenn Sie das jetzt nur in eine Richtung schauen würden,
es wäre nur in einer Raumrichtung, dann wäre das eine Gleichung. P1, P2 plus P3 ist Konstantin,
aber drei Raumrichtungen, also haben Sie drei Gleichungen. Also haben Sie von Ihren neun,
Sie haben schon einmal drei Gleichungen von neun Unbekannten, Sie haben schon einmal drei
rausgeschmissen. Also nicht immer geht es so billig, dann kann die Mathematik auch noch manchmal ein
bisschen Ärgernis verursachen, aber im Prinzip, das ist schon was wert. So, und jetzt haben wir
natürlich beliebig viele Objekte, da wird es dann richtig spannend. Ich habe Ihnen jetzt auch nicht
mehr nur diese Massenpunkte gezeichnet, sondern die haben jetzt verschiedene Größe, die haben
verschiedene Formen. Da kommt dann noch später eine Feinheit dazu, aber momentan belassen wir es
mal so, wir haben beliebig viele Objekte mit den entsprechenden Impulsen. Und jetzt haben wir wieder
für das erste Objekt, da wirkt die Kraft vom zweiten, dritten und den anderen und so weiter.
Und bis zum Enden und vom zweiten auch und vom dritten auch. Sie haben hier jeweils eine
Fortsetzung und hier eine Fortsetzung. Das schreibt sich einfach fort. Wenn Sie sich herumspielen,
können Sie statt den drei in die vier schreiben und so. Und dann sehen Sie, irgendwann einmal
schreibt man da nur mehr ein hin. So, und jetzt wissen wir auch hier, wir werden das jetzt nicht
ausichsen, dass sich jeweils immer die gegengleichen Kräfte wegkürzen, wie es ja heißt. Und daraus
kann man jetzt schließen, dass die Summe der Impulse auch hier konstant ist und der gesamte
Impuls ist konstant. So, also in einem abgeschossenen System bleibt die Summe der Impulse mit der Zeit
konstant. Das gilt auch, wenn zum Beispiel etwas zerspringt. Wenn etwas zerspringt und in alle
Richtungen fliegt und es wirkt, also auf der Erde wirkt natürlich immer die Gravitationskraft,
aber wenn wir jetzt von der mal kurz absehen, dann bleibt trotzdem die Summe der Impulse,
bleibt konstant. Wurscht, wie weit das wegfliegt. Solang nicht von außen irgendwas wirkt. So,
und jetzt schauen wir uns das ähnliche, aber noch einmal ein bisschen konkreter an. Ich habe vorher
gesagt, naja, diese Dinge können verschieden geformt sein. Da hätten Sie jetzt natürlich
sich melden können und sagen, ja bitte, Sie haben doch gesagt, Kraft ist gleich gegen Kraft. Woher
weiß ich dann, wie, also ich habe Ihnen das Newton-Gesetz hingeschrieben, das hängt zum
Beispiel vom Abstand ab zwischen zwei Massen. Was soll denn da der Abstand sein, bitteschön? Das
weiß ich ja nicht. Ist das der Abstand von dem Mittelpunkt bis daher, bis daher, bis daher?
Ist eigentlich eine nicht ganz präzise Aussage. Kann man aber präziser machen. Das ist der
Schwerpunkt, der Massenmittelpunkt. Wir werden Schwerpunkt, Massenmittelpunkt gleich lassen.
Es gibt, also als dasselbe betrachten, es gibt einen leichten Unterschied, weil der Schwerpunkt
dann immer schon auf die homogene Gravitationskraft hindefiniert ist. Wir werden einmal davon absehen
und werden eigentlich, ist die Definition des Massenmittelpunktes und für unsere Zwecke,
wird der auch gleich der Schwerpunkt sein. Das ist gleich, jetzt haben wir da, dazu haben wir
die Ortsvektoren eingeführt. Die erste Masse mal dem ersten Ortsvektor, die zweite Masse mal dem
zweiten Ortsvektor, die dritte Masse mal den dritten und die vierte, ja, das ist es schon,
waren für drei Massen und dann gibt es da einen Ortsvektor des Schwerpunktes und M ist die
Gesamtmasse und die Masse ist die Summe dieser drei Massen. So und jetzt, genau, ist der Ortsvektor
der Schwerpunkt und jetzt können wir das selber natürlich auch wieder für beliebig viele Objekte
machen, wird sich nicht viel ändern und wir können einen Schwerpunkt definieren. Jetzt fragt sich
natürlich, wie schaut denn das aus, wenn ich sage, ich kann beliebig viele Objekte machen, ich könnte
mir ja zum Beispiel dieses Objekt in lauter kleine Kügelchen zerlegt denken, ja, dann bleiben da ein
paar zerquetschte vielleicht über, dann wäre das eigentlich genau dasselbe, beziehungsweise es
gibt aber schon noch eine Feinheit, es hat ja niemand gesagt, dass diese Objekte, die ich
betrachte, immer alle dieselbe Dichte haben, also zum Beispiel die Erde, wissen Sie genau, sie ist
in etwa radial symmetrisch, allerdings ist die Dichte natürlich nicht konstant, weil es verschiedene
Erdschichten gibt. Das heißt, wenn man wirklich den Massenmittelpunkt definieren möchte, dann
muss man ihn in alle Richtungen definieren, also das ist dann die Dichte, ich hoffe, das ist klar,
das ist die Dichte, also jeder Punkt x, y, z, der wird eine Dichte zugeordnet, sie werden dann eh
noch Druck und Dichte werden sie noch kennenlernen, also vielleicht ein bisschen so eine kleine
Vorstellung. Ich habe gesagt, stellen Sie sich das Ding aus verschiedenen Objekten vor, jetzt nehmen
wir an, ich habe das da angedeutet, in der Mitte ist es weniger dicht und am Rand ist es dichter,
dann können Sie sich überlegen, Sie haben da am Rand vielleicht Kügelchen mit größerer Dichte
und da in der Mitte Kügelchen mit kleinerer Dichte und Sie können sich überlegen, die Dichte ist
Masse pro Volumen immer in einem Stück, wo das Material ungefähr immer dieselbe Beschaffenheit
hat. Das ist die Dichte, die Dichte ist natürlich eine skalare Funktion, hängt von jedem Ort im
Raum ab und wenn man das über das ganze Volumen integriert, bekommt man wieder die Masse und die
ist es ja gegangen. Und der Schwerpunkt, das ist jetzt das Integral, das sind jetzt drei,
Sie haben, der Schwerpunkt hat drei Koordinaten, der ortsvergleichte Schwerpunkt hat drei Koordinaten,
einmal integrieren Sie über x, einmal integrieren Sie über y und einmal integrieren Sie über z.
Sie können es einfach, wenn Sie sagen, ja was soll denn das jetzt, Sie können versuchen,
sich das ein bisschen so vorzustellen. Hier haben wir auch einen Vektor und da haben wir m1, s1 und
m2, s2 und genauso haben wir hier, könnten Sie hier die Dichte herausziehen und sagen,
das ist ungefähr setz dich zusammen aus den einzelnen Komponenten. So, jetzt wissen Sie,
was der Schwerpunkt ist und jetzt ist das, worauf wir eigentlich hinaus wollen, ist die
Schwerpunktbewegung. Also, wie mache ich die Bewegung? Ich leite ab nach der Zeit, da habe
ich diese, ok, die m's hier gehören weg, Entschuldigung, m1 vor 1, das habe ich vergessen
zum Wegnehmen, das kommt in der nächsten Fassung weg. Die Maßen können natürlich
weg, weil m1 mal vor 1 ist p1, das ist mit beim, Sie können das gleich hier, die Maßen
wegstreichen, ja, das ist klar, das hat hier nichts verloren, das kommt auch weg. Und dafür
ist dann die Masse, die Gesamtmasse mal der Schwerpunktbewegung ist die Summe der Impulse
und ist der Gesamtimpuls. Das heißt, was haben wir jetzt gelernt? Der Schwerpunkt,
die Ableitung des Schwerpunkts ist der Schwerpunkt mal der Masse ist gleich
der Gesamtimpuls. So, was sagt uns das jetzt? Was haben wir davon? Wir können, wir haben hier,
das ist gleich die Masse, wir können jetzt sagen, das ist die Schwerpunktgeschwindigkeit.
Die Masse mal der Schwerpunktgeschwindigkeit ist konstant. Das erinnert uns aber an was?
An was erinnert uns denn das? Masse mal Geschwindigkeit ist konstant. Ja, Impulserhaltung,
genau, das ist einmal die Impulserhaltung, aber Masse mal Geschwindigkeit von einem Objekt ist
einfach die Tatsache, dass der Impuls eines Objekts konstant bleibt. Das heißt, der Schwerpunkt ohne
Einfluss von äußeren Kräften benimmt sich der Schwerpunkt wie ein Körper, der eben dem
Trägheitsgesetz gehorcht. Er bleibt in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig. Das heißt, egal was
da drinnen sich abspielt, egal was zum Beispiel die einzelnen Bestandteile tun, der Schwerpunkt
bleibt immer an derselben Stelle. Das ist auch faszinierend, wenn Sie überlegen, ein Raketenstart
mit diesem Rückstoßprinzip, der Schwerpunkt war am Anfang in Ruhe und der Schwerpunkt bleibt auch
die ganze Zeit in Ruhe. Das heißt aber, wenn Sie sich jetzt das überlegen, wenn der Schwerpunkt in
Ruhe bleibt und Sie wollen die Rakete mit einer ordentlichen Geschwindigkeit wegbringen, dass
da irrsinnig viel Masse zurückbleiben muss. Die Rakete muss viel leichter sein, dass die Masse
zurückbleibt, damit der Schwerpunkt an derselben Stelle bleibt. Weil was wollen Sie denn, wenn der
Schwerpunkt ruht und ein Objekt hat viel Geschwindigkeit, dann haben Sie der Impuls ist
Masse mal Geschwindigkeit und das, was zurückbleibt, da gibt es eine gewisse Grenze, das können Sie
nicht unbegrenzt schnell wegstoßen, weil so viel Treibstoff und Energie haben Sie nicht zur
Verfügung. Da gibt es eine technische Grenze, das bedeutet, dass die Masse ziemlich groß sein muss,
dass Sie denselben Impuls zusammenkriegen wie dieses schnelle Ding, das dann mit der
Fluchtgeschwindigkeit abhauen soll. Wirkt auf ein System keine äußere Kraft, so bewegt sich der
Schwerpunkt mit konstanter Geschwindigkeit. Das heißt, es ist wurscht, was da drin passiert,
die Geschwindigkeit des Schwerpunkts bleibt konstant. Was passiert, wenn Sie Wohlkräfte
von außen angreifen? Ich habe das jetzt versucht, das abgeschlossene System habe ich immer schwarz
umrandelt und das graue System, das nicht abgeschlossene System habe ich immer so grau
umrandelt. Ich hoffe, das ist halbwegs einsichtig. Na ja, dann probieren wir es doch mal mit der
Beschleunigung. Wenn man etwas über die Kräfte wissen will, probieren wir es mal mit der
Beschleunigung. Dann können Sie natürlich wieder die Beschleunigung, den Schwerpunkt definieren.
Und dann haben Sie da, das ist die Hocht, die Summe der äußeren Kräfte. Das kann man sich im
Prinzip ausrechnen. Ich habe jetzt da drei Kräfte, das ist die Summe der externen Kräfte. Und das
bedeutet jetzt, der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich unter dem Einfluss einer externen
Kraft wie ein einzelner Körper mit der Masse m. Das heißt, wenn Sie den Schwerpunkt kennen und
wenn Sie die äußeren Kräfte kennen, dann wissen Sie mal, wie sich der Schwerpunkt bewegt. Oder in
welche Richtung der Schwerpunkt beschleunigt wird, ohne dass Sie jetzt z.B. wissen müssen,
genau wie sich in einem inhomogenen Körper, ob sich der Körper vielleicht verformt, wie die
Teile untereinander sich bewegen. Sogar, da ist sogar eine, egal, auch die Teile können auch
untereinander wechselwirken. Das ist völlig wurscht. Sie wissen, wie sich der Schwerpunkt
bewegt. Und das ist eigentlich erst die Rechtfertigung für das, was wir ein bisschen so
eh schon die ganze Zeit gemacht haben, dass wir, wenn wir die newtonschen Gesetze eben nicht auf
Punkte, also normalerweise in den Lehrbüchern steht immer am Anfang der Massenpunkt. Und jeder
fragt sich bitte, was soll der Massenpunkt? Der Massenpunkt wird deshalb gesagt, weil wir
eigentlich, wir haben uns das ja jetzt aus den newtonschen Gesetzen, haben wir uns das jetzt
irgendwie heraus überlegt. Die waren am Anfang von dieser ganzen Erhaltung. Ich habe gesagt,
die Erhaltungsgesetze geben ja nichts Neues. Das heißt, es wird deshalb am Anfang immer gesagt,
der Massenpunkt, ich habe es nicht getan, weil es sehr abstrakt ist und sehr irgendwie,
das Gefühl hat, es hat überhaupt nichts mit der Realität zu tun. Deshalb, weil wir,
indem wir eigentlich diese ganzen Gesetze auf ausgedehnte Objekte angewandt haben,
haben wir dieses Ergebnis eigentlich bereits vorausgesetzt. Und das kann man halt streng
beweisen. Dieser Satz klingt sehr schön. Es gibt auch schöne Bilder. Man kann zum Beispiel sich
anschauen, wie der Shoemaker Levi am Jupiter eingeschlagen hat und vorher zersplittert ist.
Dann kann man sich anschauen, wie der Schwerpunkt eine schöne Ellipsenbahn um den Jupiter gemacht
hat, egal wie sich die Einzelstücke verhalten haben und so. Da gibt es sehr viele schöne
Beispiele. Irgendwie so ganz glücklich macht uns das nicht, also sind nicht alle Probleme gelöst,
und alle, weil die Schwierigkeiten in der Mechanik liegen darin zu wissen, wo dann eine
Kraft tatsächlich angreift. Weil es heißt immer so schön, die äußeren Kräfte, aber was ist in der
Mechanik? Das machen wir da nächstes Mal ein bisschen. Aber ich will nur gleich sagen, dass
das nicht alles so einfach ist. Ich habe da aufgezeichnet, da haben Sie das System und da
haben Sie die äußere Kraft. Also zum Beispiel, wenn Sie ein homogenes Schwererfeld haben,
Schwerkraft zeigt nach unten, dann ist das die äußere Kraft, dann wissen Sie,
ah, Masse mal Beschleunigung, okay, das wirkt auf den Schwerpunkt und so. Wenn Sie jetzt ein Ding
da nach unten fallen lassen, wird das hundertprozentig so funktionieren. Wenn Sie aber da
jetzt sich um Stabilität kümmern und Sie machen da etwas und warten bis, ich haue jetzt nicht mehr
die Pelletrie runter, bis das Ding da irgendwann einmal kippt, dann haben Sie ein anderes Problem.
Weil so wie das Ding da liegt, stabil, haben Sie eine Kraft, die von unten wirkt, dann haben Sie
Kraft, das ist gleich Gegenkraft. Das heißt, die Unterlage wirkt von unten nach hinauf und
darum bleibt das Ding in Ruhe. So weit, so klar. Wenn ich anfange, das zu kippen, muss ich mir
was überlegen. Schwerpunkt ist vielleicht da außen, aber indem das da raus ist, da unten greift dann
eine Unterlage an und kann es überhaupt eine Gegenkraft geben, da oben gibt es dann keine
Gegenkraft. Das Ding wird niemals nach unten fallen, ist uns eh logisch, das wird kippen,
das heißt, ich muss mich dann darum kümmern, wo greifen die Kräfte an und so weiter, das wird
dann noch mal ein bisschen komplizierter. Warum? Warum geht es nicht so einfach? Weil die äußeren
Kräfte sozusagen von dem Verhalten dieses Systeminneren selber wieder abhängen. Und in
dem Moment ist das mit der Bewegung des Massenmittelpunkts, das stimmt zwar, das Gesetz
stimmt zwar, wenn plötzlich äußere Kräfte dazukommen, durch das, was ich da anstelle,
ist mein Problem noch nicht gelöst. Gibt es jetzt dazu einmal Fragen? Weil das sollten Sie
so halbwegs verdaut haben, so einigermaßen. Gibt es irgendwas dazu? Ja? Also, ja, gut,
dass Sie das sagen. Erster, ich wollte Sie nämlich eh was fragen, das habe ich jetzt am Anfang
vergessen. Und zwar, ich komme schon darauf zurück, aber nur der Reihe nach, ich habe am
Freitag Übungsaufgaben weggeschickt. Haben Sie die bekommen? Ja, schon am Freitag oder erst jetzt?
Wissen Sie nicht? Ja, ja, gut. Es ist so, wir werden die morgen durchbesprechen, einmal,
den ersten Schock, Übungsaufgaben. Ja, genau, wir werden die morgen durchbesprechen. Ich werde
Ihnen dann, morgen wird der Herr Gruber wieder die zweite Hälfte machen und dafür kriege ich
dann irgendwann von ihm eine Stunde, wo ich noch ein bisschen was mache und dann das zweite Stück
Übungen mache mit Ihnen. Das heißt, Sie können sich bei der Prüfung, können Sie sich relativ
orientieren an den Übungsaufgaben. Und ich habe eh versucht, ich habe es jetzt vielleicht nicht ganz
konsistent gemacht, ich habe aber vor, wenn ich fertig bin, das abliegen zu lassen und noch einmal
über das ganze Skriptum drüber zu schauen, ob irgendwo ein Schreibfehler, irgendwas, ich meine,
das kann man nie garantieren. Und bei der Gelegenheit werde ich Ihnen, ich habe es eh
schon gemacht, die Merksätze so grün einrandeln und so, also dass Sie wissen, okay, das sind
Merksätze und mit denen sollten Sie auch etwas Praktisches anfangen können. Aber Sie brauchen
jetzt keine Angst haben, dass Sie ganz arge Schwerpunktberechnungen oder irgendwelche
schrecklichen Dinge kriegen. Also es sind die Vorgaben, also jetzt im Schwierigkeitsgrad,
natürlich nicht der Inhalt, aber der Schwierigkeitsgrad sind schon die Übungsaufgaben.
Und Sie werden beim Üben eh bemerken, dann weiß ich auch, wo tun Sie sich leichter,
wo tun Sie sich schwerer. Dann wechsle ich nach, bitte, das müssen Sie aber schon können und so
weiter. Mir geht es darum, dass ich Ihnen die Dinge so erkläre, wie sie sind. Also ich möchte nicht
haben, dass Sie dann eine Formel haben, die vielleicht einfach und nett ausschaut und dann
wenden Sie sie irgendwo an, wo sie eigentlich nicht passt und dann kennen Sie sich nämlich
irgendwann einmal gar nicht mehr mehr aus. Mir ist lieber, Sie runzeln jetzt einmal die
Stirn und fragen dran mal und wenn Sie dann die Formel, die Sie dann verwenden, wissen Sie hundert
prozentig, was Sie in der Hand haben. Das habe ich mir nicht gemerkt.
Ja, dürfen Sie. Ja, ja.
Ich weiß nicht, da bin ich nahe, aber das können Sie dann Herr Gruber auch noch einmal genau
fragen und so weiter. Da gibt es Ihnen auch Möglichkeiten.
So die Arbeit, also jetzt und und was ich Ihnen auch noch sagen wollte, also ich halt,
also es werden, wir werden das nächste Mal halbe Stunde Übungen machen, halbe Stunde Inhalte noch
und in den Inhalten werden dann sozusagen die Anwendungen der Reihe nach kommen, wo wir dann
die Dinge so auf einen vereinfachen, dass wir dann wirklich wissen, okay, das sind dann die,
die sozusagen unter Anführungszeichen praktischen Beispiele.
Ja, gut.
So die Arbeit, die Arbeit ist das Resultat der Kraftwirkung auf einen Körper.
Also der mechanische Arbeit wird für einen Körper entlang eines Weges durch eine Kraft
bewegt wird. Ich habe eine Definition hingeschrieben.
Jetzt klar, diese Definition ist etwas üppiger als die Definition, die Sie kennen.
Ich habe, darum habe ich das letzte Mal auch in der Mathematik, das ist das letzte Mal,
aber im Mathematik Kapitel das Kurvenintegral erwähnt, weil das ist sozusagen die
Arbeitsdefinition in ihrer vollen Pracht.
Aber ich meine, Arbeit ist Kraft mal Weg ist halt, wir werden dann eh noch schauen, wo sich das
speziell spielt.
Aber erstens einmal ist die Kraft nicht konstant und zweitens einmal, wenn es heißt Arbeit ist
die Kraft projiziert auf den Weg, denn niemand gesagt, dass der Weg eine Gerade ist.
Und das wissen Sie ja.
Und aus diesem Grund ist das die allgemeine Definition, die aber durch, Sie haben hier den
Ortsvektor eines des Weges, Weg in drei Dimensionen.
Ich habe eh schon beim Kurvenintegral, ich kann das mit dem Kurvenintegral vergleichen, da wurden die
Begriffe eh auch alle erklärt, aber ich mache es jetzt nochmal.
Da haben Sie da den Ortsvektor, den leiten Sie ab, damit haben Sie hier die Geschwindigkeit
stehen und dann haben Sie die Kraft, das ist auch wieder ein Vektor, das wissen Sie ja, das kann
schon passieren und die Kraft, das heißt, es hat drei Vektorkomponenten und jede dieser
Komponenten hängt von jedem Punkt im Ort ab.
Auf der Erde zum Beispiel wissen Sie das relativ intuitiv, Sie wissen, dass die Kraft nach oben
hin, also wenn Sie dann in Richtung Ende der Atmosphäre gehen, also weit oben, wird die Kraft
schwächer und Sie wissen auch, dass die Kraft radial symmetrisch ist.
Das heißt, dass die Kraft sozusagen, es ist egal, ob ich jetzt da mich von der Erde wegbewege,
vom Erdmittelpunkt oder irgendeinem anderen Punkt der Erde entscheidend ist nur die Höhe.
Und wenn Sie das machen wollen, haben Sie genau das, Sie haben einen Vektor, die Kraft ist ein
Vektor, der nach unten zeigt und der hat eben an jedem Punkt, in dem Fall hängt er eigentlich nur
von der Höhe, also nur vom Radius ab, einen anderen Wert.
So, ich habe es da noch einmal aufgezeichnet, also da ist das dS nach dT, das ist die Tangente
an der Kurve und da haben Sie die Kraft und da haben Sie die Bewegung.
So und wie kriegen wir jetzt etwas ein bisschen Vertaulicheres?
Wir machen den Spezialfall, wenn die Kraft konstant ist.
Die Kraft ist konstant, ist aber immer noch ein Vektor, aber da sich die Richtung ja nicht
ändert, weil sie überall konstant ist, kann man genauso gut sagen, na gut, dann schaut
halt die Richtung nur, dann schaut es eigentlich nur in eine Richtung.
Das ist das, was Sie eigentlich immer machen, wenn Sie die einfachen Beispiele fürs
Gravitationsfeld machen, da wissen Sie, okay, die Kraft zeigt also auf der Erde jetzt nicht
weit weg, aber in der Nähe sagt man, hat man eine konstante homogene Kraft, die
Erdbeschleunigung ist überall gleich.
Na und da müssen Sie nie, da rechnen Sie eigentlich immer nur, wenn Sie irgendwelche
die Rechenbeispiele, die Sie kennen, gehen immer nur in eine Richtung, in die Z-Richtung
oder Sie nennen es Höhe oder wie auch immer.
Gut, was wäre das unseres schönen Integrals?
Also, wir haben gesagt, die Kraft zeigt nur in X-Richtung, den Weg kann man beliebig
lassen, da kann sich irgendwas durch die Gegend bewegen und wir werden wissen, wie
das Skalarprodukt funktioniert, spielt nur ein Term eine Rolle und Sie haben einen sehr
einfachen Ausdruck.
Was passiert, wenn wir das jetzt integrieren?
Weil Sie hier nur ein x von t haben, haben Sie dann hier praktisch die Geschwindigkeit
stehen und hier haben Sie das f von x, was aber nicht von der Zeit abhängt, das heißt,
Sie können das herausziehen aus dem Integral und haben hier einfach nur den Abstand von
x vom Weg, das heißt, Sie haben nur Wegende minus Weganfang mal der Kraft und jetzt haben
Sie Arbeit ist Kraft mal in Kraftrichtung zurückgelegter Weg, da haben Sie im Wesentlichen
das, was Sie schon kennen.
So, dann haben wir noch einen anderen Spezialfall, den wir beim Gravitationsfeld brauchen, das
ist die geradlinige Bewegung, die Bewegung entlang einer Gerade, man wählt wieder die
x-Axis als Bewegungsrichtung, man sagt, es geht jetzt gerade, jetzt kann die Kraft beliebig
sein, also die Kraft hängt jetzt ab von x, das andere an der Stelle y und z und y und
z ist aber null, das heißt, Sie haben die Kraft hängt nur von einer Ortskomponente
ab mal der Geschwindigkeit und das heißt, es bleibt Ihnen eigentlich über das Integral
der Kraft über den Weg.
Der Weg ist gerade, die Kraft ist jetzt, wir haben nur die x, Sie haben eine Funktion,
die Sie nur entlang des Weges integrieren und das Einzige, was Sie festlegen müssen,
sind die Grenzen, da x1, x2, da werden wir gesagt, den Weg, das müssen wir ja bestimmen,
wir sagen ja, es wirkt die Kraft entlang des Weges, na was müssen Sie machen, Sie müssen
das Integral über die Kraftkomponente in Bewegungsrichtung, ist das soweit?
Weil das werden die zwei Sachen sein, die Sie wirklich auch verwenden werden von der
Arbeit her, das vor allem, vor allem das natürlich, die gute alte Arbeit ist Kraft mal Wegformel
und im Spezialfall ein bisschen für den Hintergrund, für die Gravitationskraft, dass der Weg geradlinig
ist.
Ist das soweit?
Ja.
Gut.
Ja.
Ja.
Na ja, ja, ja, komm es weiter.
Ja.
Ja.
Das müssen Sie nicht wissen.
Es ist Verständnis und es ist Verständnis, dass es sehr wichtig wird, wenn es dann um
die Anwendung der Energieerhaltungssätze geht, weil da, es ist dann oft, das schaut
dann oft, also bin ich halt relativ verwirrend aus, also die wenigsten wissen dann tatsächlich,
wann sie wo was anwenden können und wenn sie wirklich wissen, woher diese Kraft mal
Wegformel kommt, was die eigentlich heißt, dann wird, denke ich oder hoffe ich halt,
die Energieerhaltung für sie so klar sein oder hoffe es, dass sie nicht sozusagen immer
fünfmal überlegen müssen, ja, also wieso ist das jetzt gemeint und wir kommen ja gleich
zur kinetischen Energie.
Ja, ja, gerne.
Gut, welche Arbeit ist nötig, um einen Körper von einer Geschwindigkeit auf eine andere
zu bringen?
Da werden wir uns jetzt noch ein letztes Mal dieser geschmackigen Formel widmen.
Wir haben unsere Arbeitsformel und wir haben Kraft, aber die Frage ist jetzt eine andere.
Das, was ich Ihnen vorher gezeigt habe, ist, okay, wir kennen die Kraft, ich habe Ihnen
das Beispiel der Gravitationskraft, wir werden dann auch noch mechanische Kräfte kennenlernen
und wie kann ich mir da jetzt die Arbeit ausrechnen, die Kraft greift auf einen Körper an, es
gibt irgendeinen Winkel oder sonst etwas.
Jetzt haben wir aber eine ganz andere Frage.
Wir haben ja immer diese Newtonstar-Axiome, Kraft ist maximal Beschleunigung und ohne
Kraft gibt es keine Beschleunigung.
Da stellt sich natürlich die Frage, das ist nämlich gar nicht so einfach zu beantworten,
wenn ich einen Körper losschiebe.
Niemand kann sagen, wenn Sie es mit der Hand so machen, wie schnell der Körper nachher
ist.
Das ist etwas, was sehr wenig untersucht wird, das muss man anders klassifizieren.
Und da ist einmal die Frage, da geht es vielleicht anders.
Wenn ich auf einen Körper eine Kraft wirke, wurscht welcher, lasse ich es nicht vielleicht,
ohne zu wissen, welche Kraft da wirkt, einmal schon sagen, was ich habe für eine Arbeit
leisten müssen, um von der einen Geschwindigkeit auf die andere zu kommen.
Na gut, wo ist die Verbindung zwischen Kraft und Beschleunigung, das ist das Newton'sche
Kraftgesetz.
Und das werden wir jetzt auch anwenden.
Und zwar, welche Arbeit ist nötig, um einen Körper zu beschleunigen.
Und jetzt, so schaut das in der vollen Allgemeinheit aus.
Und da ist mir jetzt wirklich wichtig, dass Sie wissen, dass das nicht, ich zeige Ihnen
dann schon noch den Spezialfall, den Sie vielleicht eh von irgendwo kennen, aber mir ist jetzt
wirklich wichtig, dass Sie sehen, das ist einfach so.
Also das ist einfach so nicht im Sinne von definiert, sondern im Sinne von, das folgt.
Das folgt, um einen Körper von einer Geschwindigkeit auf eine andere zu bringen, braucht es eine
klar definierte Arbeit und das kann man sich ausrechnen.
Sie haben hier die Beschleunigung, das ist die Ablösung der Geschwindigkeit nach der
Zeit mal der Geschwindigkeit.
Das ist gleich, da müssten Sie jetzt substituieren, wenn Sie das nachvollziehen können, wir haben
es nicht gemacht bei den Reichenregeln, aber nur, wenn es irgendwie beschäftigt.
Das ist das gute alte Substituieren, was manche von Ihnen vielleicht in der Schule gelernt
haben, ich weiß nicht, ob alle, keine Ahnung, das gibt es verschiedene, manche lernen es,
manche lernen es nicht.
Es ist die Substitutionsregel, die man braucht und dann kommt man auf dieses Ergebnis.
Aber das kennen Sie, das ist das gute alte Vektorprodukt der Geschwindigkeit.
Das ist Masse mal Betrag der Geschwindigkeit zum Quadrat zwischen den Zeiten T1 und T2.
Diese Grenzen sind auch ganz wichtig.
Ich glaube, die Schreibweise kennen Sie schon, dass man das so schreibt bei den Grenzen beim
Integral.
Das ist bei der Integraldefinition, glaube ich, nicht extra hingeschrieben, aber das
ist bekannt, schon.
Ja, schon.
Gut, T2 minus T1, VT2 minus T1 ist die Differenz der Beträge der Geschwindigkeiten.
Ich muss mich jetzt da bei Ihnen ein bisschen entschuldigen, mir ist das erst zu spät aufgefallen.
Ich habe die Körper mit 1, 2, 3 durchnummeriert und jetzt habe ich die Geschwindigkeit vorher
und Geschwindigkeit nachher auch mit 1, 2 durchnummeriert.
Merken Sie sich irgendwo an, dass das nicht dasselbe ist, nicht, dass dann irgendwann
mal beim Lernen das Gefühl auftaucht, ich kenne mich gar nicht mehr aus.
Aber ich wüsste jetzt auch nicht, wie ich es anders nennen soll, weil das wird alles
dann furchtbeumständlich und dann, wenn ich noch 100 Buchstaben einführe, unübersichtlich.
Gut, also hier geht es um Geschwindigkeit nachher, vorher das 1, 2 bezieht sich hier
oder notieren Sie es sich irgendwo auf die Zeiten vorher und nachher und das ist die
Differenz der kinetischen Energie.
Ja, jetzt habe ich schon, ach, Spoiler, schrecklich, das tut man nicht.
Also, die kinetische Energie, das Ergebnis, das ist jetzt wichtig, das Ergebnis war unabhängig
davon.
Wir haben eine beliebige Kurve gehabt, das Ergebnis war unabhängig davon, welche Kurve
wir da verwendet haben.
Das wird wichtig, weil mit dem, das werden Sie brauchen, wenn Sie die Energie, mit dem
Energiehaltungssatz rechnen und da wird man schnell verwirrt.
Also das bitte merken, dieses Ergebnis, auch wenn Sie die mathematische Herleitung gehen,
die vielleicht jetzt nicht sagen sollte, aber dieses Ergebnis ist unabhängig davon, welchen
Weg wir verwendet haben.
Einfach nur, wir haben einen Weg von der Geschwindigkeit 1 zur Geschwindigkeit 2, wie der Körper dort
hingekommen ist, ist egal.
Und wir wissen, dass die Arbeit, die wir uns so schön definiert haben, hängt nur ab von
der Differenz der Geschwindigkeit.
Und jetzt sagen wir, das muss aber eine interessante Größe sein, also V2 ist die Geschwindigkeit
nach der Einwirkung der Arbeit, V1 ist die Geschwindigkeit vor der Einwirkung der Arbeit.
Die V1 ist die kinetische Energie und durch die geleistete Arbeit wird die kinetische
Energie, 1, 2 ist vertauscht, okay.
Sie kriegen das alles, das ist vertauscht, von V1 auf V2 erhöht natürlich.
Einfach tauschen, ja.
Sie kriegen das alles in der verbesserten Form noch, irgendwann einmal sieht man es nicht
mehr, wenn man arbeitet.
Na klar, weil V2 minus V1 und dann hat man das genau umgekehrt.
Gut.
Und jetzt kommt das, was Sie wieder diesen Spezialfall, den Sie vielleicht schon mal
irgendwo gesehen haben oder den Sie auch in vielen Büchern finden, wenn die Beschleunigung
konstant ist, dann können Sie es etwas einfacher machen.
Die Kraft ist Masse mal Beschleunigung mal der Ableitung des Weges.
Die Ableitung des Weges ist die Geschwindigkeit.
Also Sie haben da Masse mal Beschleunigung mal Geschwindigkeit.
Jetzt soll aber die Beschleunigung konstant sein, das ist ein konstanter Vektor.
Wir sparen uns wieder die anderen Komponenten, V von T.
So, und jetzt haben wir, was wollen wir?
Wir wollen in den Grenzen von T1 bis T2 von V1 auf V2 beschleunigen.
Das heißt, dass ich muss hier also im Prinzip könnte das ja eine beliebige Konstante sein,
haben wir ja gelernt, die Beschleunigung, wenn ich die Beschleunigung habe, ist die
Geschwindigkeit eine beliebige Konstante plus Beschleunigung mal Zeit.
Aber wir wollten ja mit der Geschwindigkeit V1 starten.
Also werden wir hier für die Konstante V1 setzen plus einmal T.
Das heißt, wir haben dieses Produkt reduziert sich auf Beschleunigung mal Anfangsgeschwindigkeit
plus Beschleunigung Quadrat mal Zeit.
So, und jetzt, was machen wir jetzt?
Jetzt verwenden wir das Integral.
Das Integral gibt mir, wir integrieren von 0 bis T2, Zeit gleich 0, weil wir haben das
jetzt ja so angesetzt, gescheiterweise, dass für T gleich 0 wir mit V1 beginnen.
Wir schauen dann auf die Uhr, wenn die Beschleunigungsphase beginnt.
Also integrieren wir von 0 bis T2 und bekommen hier das Integral der Zeit ist T Quadrat halbe
und dann setzen wir die Grenzen ein und bekommen diese Formel.
Da kommt jetzt zweimal A mal T2 vor und da setzen wir jetzt ein noch einmal in die Geschwindigkeitsgleichung
und drücken uns alles durch die Anfangs- und Endgeschwindigkeit aus.
Ich habe es da relativ, Sie können das würde ich als eine gute Übung sehen, wenn Sie das
versuchen selber nachzurechnen.
Das ist irgendwie, wenn Sie mit den ganzen Sachen, nicht dass Sie jetzt genau das, werden
Sie nicht geprüft werden, aber es ist irgendwie, dann wissen Sie, wie man mit den Dingen hantiert
oder vielleicht kommen da noch irgendwelche Fragen und wenn Sie die beantwortet haben,
dann sind Sie halbwegs souverän mit dieser ganzen Geschichte.
So, das heißt, es kommt das raus, was man eh schon gewusst hat, was rauskommen soll,
aber wir haben uns jetzt einmal noch für diesen Spezialfall davon überzeugt.
Jetzt würde ich sagen, machen wir mal für fünf Minuten Pause und dann kommt der Rest.
Vielen Dank.
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Frieden BENEIDEN Sie haben das Wort.